Ecuația de gradul întâi

Ecuația de gradul întâi este o ecuație pe care o putem aduce la forma ax + b = 0, unde a ≠ 0. Un exemplu concret ar putea arăta, să zicem, așa: 2x + 4 = 0. Soluția acestei ecuații este numărul −2, lucru care se poate deduce destul de logic. Dacă ar fi numere ceva mai mari, deducția nu ar mai fi atât de simplă, așa că ne trebuie un procedeu mai concret.

Forma generală a ecuației de gradul întâi

Mai exact, este o ecuație cu o singură necunoscută x care, prin transformări echivalente, poate fi adusă la forma ax + b = 0, unde a ≠ 0. Necunoscuta nu este în niciun fel ridicată la putere, nu apare sub radical etc. Ecuațiile cu necunoscuta la numitorul unei fracții pot fi aduse la această formă doar cu condiția ca numitorul să nu fie nul. De aceea le rezolvăm separat, vezi ecuații de gradul întâi cu necunoscuta la numitor. Privește câteva exemple de ecuații de gradul întâi:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

După cum vezi, o ecuație de gradul întâi poate arăta în multe feluri. Pentru a le rezolva ușor, trebuie să le aducem mai întâi la o singură formă, pe care o numim forma generală:

$$ax+b=0,$$

unde x este necunoscuta, iar a și b sunt numere reale oarecare, pe care le numim coeficienții ecuației. Numărul a nu poate fi nul, adică a ≠ 0. Expresiei ax îi spunem termen de gradul întâi (liniar), expresiei b îi spunem termen liber.

La rezolvarea unei ecuații de gradul întâi nu ne putem lipsi de transformările echivalente, adică de transformările care nu schimbă soluția ecuației. Fără ele o ecuație mai complicată nu poate fi rezolvată. Ecuația o putem aduce la forma generală fie transformând expresiile care apar în ecuație, fie chiar prin transformările echivalente ale ecuațiilor.

Să ne întoarcem la exemplele de mai sus. Prima ecuație, 2x + 7 = 0, are deja forma generală, deci vedem direct coeficienții a = 2 și b = 7. La a doua ecuație, x − 2 = 74, nu este chiar atât de simplu. Folosim o transformare echivalentă și adunăm la ambii membri numărul −74 (adică scădem din ambii membri numărul 74). Obținem x − 76 = 0. Aceasta este deja forma generală, cu coeficienții a = 1 și b = −76.

A treia ecuație este încă departe de forma generală, dar și cu ea ne descurcăm. Mai întâi „facem” zero în membrul drept: adunăm la ambii membri expresia 12x. Membrul drept devine zero, pentru că (−12x) + 12x = 0. Întreaga ecuație va arăta astfel:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Acum nu ne rămâne decât să desfacem parantezele și să adunăm termenii cu x.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Această ecuație de gradul întâi este în forma generală, iar coeficienții ei sunt a = −8 și b = 3.

În ultima ecuație trebuie să scăpăm de fracții. De aceea înmulțim întreaga ecuație cu 72, număr divizibil cu toți numitorii:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Acum simplificăm fracțiile:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

În membrul stâng adunăm, în cel drept înmulțim:

$$39x=405x+72$$

Mai rămâne ultimul pas: scădem din ambii membri 405x și 72, iar ecuația este în forma generală:

$$-366x-72=0$$

Am obținut deci coeficienții a = −366 și b = −72.

Cum se rezolvă o ecuație de gradul întâi

Dacă avem ecuația de gradul întâi în forma generală, se rezolvă deja ușor. Să arătăm pe un exemplu: 3x − 18 = 0. Din ce trebuie să scădem numărul 18 ca să obținem zero? Păi tot din 18. Deci, pentru ca expresia 3x − 18 să fie egală cu zero, expresia 3x trebuie să fie egală cu 18, atunci obținem 18 − 18 = 0. Când va fi expresia 3x egală cu 18? Exact când x = 6, pentru că 3 · 6 = 18.

Cum deducem de aici procedeul general? Mai întâi trebuie să aflăm cu ce trebuie să fie egal termenul de gradul întâi ax. Aflăm asta mutând termenul liber în membrul drept, adică adunând la ecuație −b. Obținem astfel ecuația de forma ax + b − b = −b, ceea ce este același lucru cu ax = −b. În cazul exemplului precedent am obține 3x − 18 + 18 = 18, adică 3x = 18. Nu uita că numărul b era egal cu b = −18, deci, dacă adunăm −b, adunăm −(−18), ceea ce este egal cu +18.

Avem ecuația în forma ax = −b. Cum obținem direct pe x? În exemplu căutam acel x care, înmulțit cu trei, dă 18. Ce am făcut de fapt? Am împărțit 18:3 = 6. Adică am luat expresia din membrul drept (−b) și am împărțit-o la valoarea a, în exemplu la trei. Deci din ax = −b obținem

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Întregul procedeu aplicat primului exemplu arată astfel:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Semnificația geometrică

Dacă aducem ecuația de gradul întâi la forma generală, în membrul stâng obținem o funcție de gradul întâi. Graficul funcției de gradul întâi este o dreaptă. Deoarece forma generală a ecuației de gradul întâi arată astfel, ax + b = 0, soluțiile acestei ecuații sunt toate punctele în care dreapta (graficul funcției de gradul întâi) intersectează axa Ox (care este totodată graficul funcției f(x) = 0, adică al membrului drept).

De exemplu, am aflat că soluția ecuației 3x − 18 = 0 este x = 6. Ce înseamnă asta? Că graficul funcției 3x − 18 intersectează axa Ox în punctul x = 6.

Să încercăm să rezolvăm grafic ecuația 5x + 2 = 2x − 7. Cum putem proceda? Putem transforma ecuația la forma generală, adică adunăm −2x, obținând 3x + 2 = −7, apoi adunăm 7: 3x + 9 = 0. Acum desenăm graficul funcției de gradul întâi y = 3x + 9 și aflăm când intersectează axa Ox.

A doua cale este să nu transformăm deloc ecuația, ci să desenăm graficele funcțiilor din ambii membri ai ecuației. Adică desenăm graficele funcțiilor f(x) = 5x + 2 și g(x) = 2x − 7.

Aceste două drepte s-au intersectat într-un singur punct, notat cu A. Ce abscisă are acest punct A? Din nou x = −3. Soluția grafică a ecuației 5x + 2 = 2x − 7 este deci abscisa punctului de intersecție al graficelor funcțiilor din membrul stâng și din membrul drept.

Exemple rezolvate

Exemplul întâi: Să încercăm să rezolvăm ecuația 7x − 14 = 0. Situația este simplă, ecuația este în forma generală, deci doar aplicăm procedeul:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Al doilea exemplu: Rezolvă ecuația 2x + 10 = 0. Ecuația este din nou în forma generală, trebuie doar să fii atent la faptul că b este pozitiv și de aceea în membrul drept îți va ieși, după transformare, un număr negativ:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Al treilea exemplu: Rezolvă ecuația 15 − 3x = 0. Ecuația este aproape în forma generală, ne trebuie doar să punem necunoscuta x pe primul loc. Atunci ecuația are forma −3x + 15 = 0. Din nou atenție: aici avem semnul minus în fața termenului de gradul întâi, ceea ce până acum nu am avut. Transformările sunt însă exact aceleași:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Exemplul îl putem rezolva și puțin altfel, pe un drum mai lung. În loc să împărțim ecuația direct la numărul −3, putem mai întâi să înmulțim ecuația cu numărul −1, scăpând astfel de ambele semne minus. Apoi putem împărți ecuația la trei:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Al patrulea exemplu: Rezolvă ecuația de gradul întâi

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Această ecuație este ceva mai complicată, pentru că are fracții. Mai întâi trebuie să scăpăm de aceste fracții. Cel mai bine este să înmulțim întreaga ecuație cu cel mai mic multiplu comun al tuturor numitorilor. Avem doi numitori, 4 și 2. Cel mai mic multiplu comun este 4. Dacă nu ai chef să calculezi, poți înmulți întreaga ecuație cu produsul numitorilor, adică 4 · 2 = 8, dar nu este procedeul recomandat, pentru că îți îngreunezi viața un pas mai departe. Dacă înmulțim ecuația cu patru, scăpăm de fracții simplificându-le pe rând:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Acum aducem ecuația la forma generală: x − 12 = 0 și din această ecuație vedem deja că x = 12.

Al cincilea exemplu / problemă cu text: Să avem doi frați, Tudor și Andrei. Andrei a început să lucreze imediat după liceu, în timp ce Tudor a mai făcut o facultate, care a durat în total cinci ani. Andrei primea în fiecare lună un salariu de 5000 de lei. Cu toate că Tudor a absolvit recreologia, specializarea „statul pe șezlong”, a reușit să obțină un post într-o instituție publică, unde primea 7000 de lei pe lună. După cât timp va câștiga Tudor, în total, aceeași sumă ca Andrei? Adică, pentru lămurire: în cinci ani Andrei a câștigat 5 · 12 · 5000 de lei, în timp ce Tudor, după cinci ani, nu are nimic. După câte luni va fi această valoare aceeași?

Din enunț putem forma o ecuație de gradul întâi astfel: variabila x va reprezenta numărul de luni căutat, iar x = 0 înseamnă zero luni de la terminarea facultății de către Tudor.

Mai întâi formăm funcția care va da venitul lui Tudor în funcție de numărul de luni. Deci, dacă ne interesează, de exemplu, venitul lui Tudor după șase luni, calculăm simplu că 7000 · 6 = 42.000 de lei. În general putem scrie că, după x luni, Tudor a câștigat în total 7000 · x lei.

La Andrei ar fi asemănător: 5000 · x, numai că trebuie să adăugăm și suma pe care a câștigat-o în timp ce Tudor studia. Tudor a studiat cinci ani, deci Andrei a câștigat în timpul studiilor 5 · 12 · 5000 de lei. Întreaga formulă pentru Andrei va fi deci: 5 · 12 · 5000 + 5000 · x.

Aceste funcții le punem într-o ecuație, pentru că ne interesează pentru ce x aceste câștiguri sunt egale:

$$5\cdot 12\cdot 5000+5000\cdot x=7000\cdot x$$

Ecuația o transformăm simplu, mutând toți termenii cu x într-un membru al ecuației:

$$2000x=5\cdot 12\cdot 5000$$

Iar în final împărțim doar la 2000:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

După 150 de luni vor avea amândoi aceeași sumă de bani. Andrei a câștigat în timpul studiilor lui Tudor frumoasa sumă de 5 · 12 · 5000 = 300.000 de lei, plus în alte 150 de luni a câștigat 5000 · 150 = 750.000, ceea ce face în total 300.000 + 750.000 = 1.050.000 de lei. Tudor a lucrat doar aceste 150 de luni și în acest timp a câștigat 7000 · 150 = 1.050.000 de lei. Vedem că, după cinci ani de studii și încă 150 de luni, amândoi au câștigat într-adevăr la fel.

Alte exemple

Rezolvă următoarea ecuație de gradul întâi:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Mai întâi desfacem paranteza:

$$2x-14=6$$

Acum lăsăm în membrul stâng expresia cu necunoscuta, iar în membrul drept mutăm tot restul:

$$2x=20$$

… și, în final, împărțim la doi.

$$x=10$$

Rezolvă ecuația

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Din nou desfacem mai întâi parantezele:

$$9-3x+5x-10=0$$

Reducem ce se poate reduce și mutăm variabilele în stânga, iar restul în dreapta:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

În final împărțim întreaga ecuație la doi:

$$x=\frac{1}{2}$$