Distributivitatea

Distributivitatea este o proprietate a două legi de compoziție (operații binare), cum sunt, de exemplu, adunarea și înmulțirea. Distributivitatea ne spune, în cazul înmulțirii și adunării, că putem „desface paranteza”. De exemplu, dacă avem expresia

$$2\cdot (3+4)$$

știm că putem desface paranteza, obținând o altă expresie

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Ambele expresii duc la același rezultat, numărul 14. Această desfacere am putut-o face pentru că operația de înmulțire este pe mulțimea numerelor reale distributivă față de operația de adunare. În general, dacă avem două operații · și +, spunem că operația · este pe mulțimea M distributivă față de operația + dacă

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

pentru orice a, b, c ∈ M. Un alt exemplu de operații distributive sunt operațiile din logica propozițională, conjuncția ∧ și disjuncția ∨. Să ne imaginăm că avem propozițiile A, B și C. Dacă spunem „A și, în același timp, (B sau C)”, o scriem astfel

$$A\wedge (B\vee C)$$

Iar pentru că operația de conjuncție este distributivă față de operația de disjuncție, este valabilă în același timp

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Deci, în cuvinte: „(A și, în același timp, B) sau (A și, în același timp, C)”. Ca să avem și un exemplu de operații care nu sunt distributive, să luăm, de exemplu, adunarea și scăderea:

$$10-(5+3)$$

Rezultatul corect este, desigur, 2, pentru că după adunarea din paranteză obținem 10 − 8, adică 2. Dacă am aplica la acest calcul regula distributivității, am obține expresia:

$$(10-5)+(10-3)$$

După calcularea parantezelor am avea 5 + 7, adică 12. Vedem că am obținut un rezultat greșit, deci operațiile de adunare și scădere nu sunt distributive.

Alte exemple: unele operații cu matrice îndeplinesc legea distributivității. Vectorii dintr-un spațiu vectorial la fel. Operațiile dintr-un corp trebuie să fie distributive.