Vektorer

En vektor är en storhet som har både storlek och riktning. Det skiljer den från ett vanligt tal, en så kallad skalär, som bara har storlek.

Riktad sträcka

Vi har två olika punkter A, B i planet. Mellan dem kan vi dra en sträcka. En sådan sträcka skriver vi vanligtvis som AB, och ordningen på punkterna spelar ingen roll. Sträckan AB är precis densamma som sträckan BA.

Det är inte alltid det vi vill, och därför inför vi begreppet riktad sträcka, där vi skiljer på startpunkt och slutpunkt. Den riktade sträckan AB har startpunkt i A och slutpunkt i B. I en figur markerar vi en riktad sträcka med en pil, och i text skriver vi den med en pil över punkterna: $\overrightarrow{AB}$. Exempel:

Sträckan AB är blå och den riktade sträckan $\overrightarrow{CD}$ är röd. Om en riktad sträcka $\overrightarrow{AB}$ uppfyller A = B kallar vi den en riktad nollsträcka. Start- och slutpunkten är då samma punkt, så man skulle knappt kalla det en sträcka när det egentligen bara är en enda punkt.

Längden av en riktad sträcka är densamma som längden av en vanlig sträcka. Det gäller att $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Riktningen hos en riktad sträcka

Titta på de här två riktade sträckorna $\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{CD}$:

Det syns direkt att de riktade sträckorna har samma riktning. Vi skulle kunna definiera begreppet ”riktning” noggrant, men vi nöjer oss med den intuitiva uppfattningen. Förenklat har två riktade sträckor samma riktning om de är parallella och den ena inte pekar åt motsatt håll jämfört med den andra. Alla de här paren av riktade sträckor har samma riktning:

De sista, gröna sträckorna är de riktade sträckorna $\overrightarrow{IJ}$ och $\overrightarrow{IK}$. Här följer exempel på par av sträckor som inte har samma riktning:

Vad är en vektor?

Vi går tillbaka till figuren med två riktade sträckor med samma riktning:

Vi ser att sträckorna inte bara har samma riktning utan också samma längd. Den enda skillnaden mellan dem är att de ligger på olika ställen. Riktade sträckor som har samma riktning och samma längd representerar en och samma vektor.

En vektor kan alltså ritas på oändligt många sätt i planet (eller i rummet …). Det räcker att välja vilken riktad sträcka som helst med samma riktning och längd som den givna vektorn. Följande riktade sträckor representerar alla en och samma vektor:

En vektor bestäms enbart av sin längd och sin riktning. Vektorns längd och riktning är desamma som längden och riktningen hos den riktade sträcka som representerar vektorn. Vektorer skriver vi vanligen med fetstil och pil, på samma sätt som riktade sträckor. Vi kan alltså ha vektorn $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ eller, kortare, vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

En enskild riktad sträcka anger en placering av vektorn. I föregående figur har vi sammanlagt 7 riktade sträckor, och var och en bestämmer en egen placering av vektorn. De riktade sträckorna $\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{MN}$ representerar samma vektor, säg $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, men de är två olika placeringar av vektorn $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Parallella vektorer

Vi har två vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Vi säger att vektorerna är parallella om de är parallella som riktade sträckor. Vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ behöver inte ha samma längd. Riktningen ska vara antingen densamma eller den motsatta. Exempel på parallella vektorer:

Alla röda vektorer är parallella med varandra. Det spelar ingen roll om de pekar mot det övre högra hörnet eller mot det nedre vänstra. Den blå vektorn $\overrightarrow{GH}$ är inte parallell med dem.

Om parallella vektorer har samma riktning säger vi att de är likriktade, och om de inte har samma riktning är de motriktade. Vi går tillbaka till föregående figur: vektorerna $\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{EF}$ är likriktade, och vektorerna $\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{KL}$ är motriktade.

Vektorers koordinater

Vi vet redan att en vektor kan uttryckas med oändligt många riktade sträckor. En av dessa sträckor har sin startpunkt i origo, i punkten (0, 0) i planet och i punkten (0, 0, 0) i rummet. Titta på följande figur:

De riktade sträckorna $\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{CD}$ har samma riktning och samma längd, så de är en och samma vektor. Sträckan $\overrightarrow{CD}$ utgår från origo, och koordinaterna för punkten C är (0, 0). Detsamma gäller för paret av sträckor $\overrightarrow{EF}$ och $\overrightarrow{KL}$.

Om vi vet att sträckorna $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ utgår från origo kan vi komma överens om att beteckna dessa vektorer enbart med slutpunkten. Startpunkten är densamma (origo), så för att skilja sträckorna $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ åt räcker det att vi skriver ned deras slutpunkter.

Vi säger att vektorn $\overrightarrow{AB}$, och därmed också vektorn $\overrightarrow{CD}$, har koordinaterna (3, 1), som är koordinaterna för punkten D, slutpunkten för sträckan $\overrightarrow{CD}$. Vektorn $\overrightarrow{KL}$ har då koordinaterna (−1, 4), koordinaterna för punkten F.

Så beräknar du en vektors koordinater

Nu går vi igenom hur man bestämmer en vektors koordinater matematiskt. Vi utgår från att vi känner koordinaterna för punkterna A, B som bestämmer vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Anta alltså att vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ bestäms av punkterna A(2, 3) och B(5, 4). Det är den övre röda vektorn i föregående figur. Hur hittar vi koordinaterna för punkten D, alltså slutpunkten för den riktade sträcka som representerar vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ och börjar i origo?

Vi flyttar helt enkelt hela sträckan $\overrightarrow{AB}$ till origo. För att få punkten A till origo måste vi flytta den 2 rutor åt vänster och 3 rutor nedåt. Samma sak gäller punkten B. Med andra ord: från både A och B subtraherar vi koordinaterna för punkten A. Då hamnar sträckan $\overrightarrow{AB}$ där sträckan $\overrightarrow{CD}$ är ritad. Vi kan skriva:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

Koordinaterna för vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ är alltså (3, 1), slutpunkten för den riktade sträcka som har startpunkt i origo.

Vi kan skriva att om vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ bestäms av punkterna A(x₁, y₁) och B(x₂, y₂), så får vi koordinaterna för vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ så här:

$$B-A=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

Koordinaterna för vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ skriver vi inom parentes, så koordinaterna för den föregående vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ skriver vi så här: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(3,1)$.

Vi kan återvända till figuren och beräkna koordinaterna för vektorn $\overrightarrow{KL}$. Punkterna K och L har koordinaterna K(−2, 1), L(−3, 5). Vektorns koordinater blir

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=(-1,4)$$

Vi ser att vi fick rätt koordinater, nämligen koordinaterna för punkten F.

Så beräknar du längden av en vektor

När vi väl känner vektorernas koordinater kan vi enkelt beräkna deras längd. Med Pythagoras sats kan vi ganska lätt härleda att längden av en vektor med koordinaterna $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ i planet är

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

I nästa figur ser vi att vektorns koordinater stämmer med sidlängderna i den triangel vi har ritat, och att vi lätt kan beräkna vektorns längd med Pythagoras sats.

Om vi har vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$ blir dess längd

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Nu följer två exempel där du kan öva på det vi har gått igenom.

1. Bestäm koordinaterna för vektorn u som ges av punkterna A(3, 7), B(−1, 0). Här är tillvägagångssättet helt enkelt och rättframt. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Vektorn har alltså koordinaterna $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-4,-7)$

2. Vi vet att vektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ har koordinaterna $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,3)$ och bestäms av punkterna A(6, 6) och B(x₁, y₁), dvs. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Bestäm koordinaterna för punkten B.

   Vi ställer återigen upp vår gamla bekanta ekvation och löser ut den obekanta:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Den andra koordinaten får vi på samma sätt:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Punkten B har koordinaterna (8, 9).