✖

Naturliga tal

Naturliga tal är de tal som vi oftast möter i vardagen. Det är de icke-negativa heltalen, alltså talen 0, 1, 2, 3, 4, …

Beteckning

De naturliga talen bildar en mängd som innehåller de icke-negativa heltalen 0, 1, 2, 3, 4, … Mängden betecknas vanligtvis med bokstaven N med dubbla streck: ℕ. Beteckningen kommer från engelskans ”naturals”.

I Sverige ingår talet 0 bland de naturliga talen, så ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. I en del andra länder räknar man bara 1, 2, 3, … som naturliga tal. När vi behöver skilja de positiva heltalen 1, 2, 3, 4, … från de naturliga talen betecknar vi mängden av de positiva heltalen med ℤ+.

Vi använder naturliga tal framför allt för att ange antal (”vi har tre stolar hemma”, ”det finns trettio bänkar i parken”, …) och för att ange ordning (”första människan på månen”, ”Kanada är världens näst största land”, …).

Egenskaper

De naturliga talen har några intressanta egenskaper:

  1. Mängden av naturliga tal är oändlig, men den är uppräknelig, vi kan ordna alla tal i en talföljd.
  • De naturliga talen är slutna under addition och multiplikation. Det betyder att om vi multiplicerar eller adderar två naturliga tal får vi återigen ett naturligt tal.
  • De är inte slutna under subtraktion, eftersom vi får ett negativt tal om vi subtraherar ett större tal från ett mindre.
  • På samma sätt är de inte slutna under division, till exempel är 7/2 inte ett naturligt tal.

Division med rest

I förra avsnittet såg vi att de naturliga talen inte är slutna under division. Vi kan däremot definiera division med rest, som du säkert redan känner till. Om vi dividerar 7/2 får vi 3,5. Om vi använder division med rest får vi kvoten 3 och resten 1. Alltså, om vi multiplicerar 3 · 2 och lägger till resten får vi tillbaka 7: 3 · 2 + 1 = 7.

Mängden ℤ+ är inte sluten under den här operationen, men de naturliga talen, som inkluderar 0, är det. Både kvoten och resten ligger alltså i mängden ℕ.

Definitionen av division med rest ser ut så här:

a=bq+r;a,q,r∈N,b∈Z+,r<b

I definitionen dividerade vi a:b, talet r kallas resten och q kvoten. Vad betyder villkoren? Vi utgår från att vi rör oss bland de naturliga talen inklusive 0, men eftersom vi inte kan dividera med noll väljer vi b ur mängden utan 0.

Som exempel tar vi beräkningen 19:5, där a = 19 och b = 5. Uppdelningen ser ut så här:

19=5⋅3+4

Alltså är q = 3, det vill säga kvoten, och r = 4, det vill säga resten.

Länkar