Spädning och blandning av lösningar

En lösning uppstår när vi till exempel löser upp etanol i vatten. Vi får en homogen blandning som består av ett löst ämne (etanol) och ett lösningsmedel (vatten). Vanligtvis menar vi med lösning en lösning i flytande form, men i allmänhet kan vi också ha en lösning av två fasta ämnen, till exempel legeringen brons.

Koncentration

Koncentrationen säger oss hur mycket löst ämne det finns i lösningen. Det finns flera sätt att ange koncentrationen:

• Massprocent: hur många gram löst ämne som finns i 100 g lösning.
• Volymprocent: hur många milliliter löst ämne som finns i 100 ml lösning.
• Andel i procent: hur många procent löst ämne lösningen innehåller. Vi kan till exempel ha en 40-procentig lösning, vilket betyder att det finns 40 ml av ämnet i 100 ml lösning.

Vilken koncentration har en lösning av vatten och etanol om vi har 500 ml av lösningen och 150 ml av den är etanol? För att få volymkoncentrationen behöver vi veta hur många ml som finns i 100 ml. Vi vet däremot hur många ml som finns i en halv liter. Vi kan ta hjälp av proportionalitet. Först räknar vi ut hur mycket etanol det skulle finnas i 1 ml lösning, vilket vi gör genom att dividera mängden etanol med 500:

$$\frac{150\text{ml}}{500}=0,3\text{ml}$$

När vi vet mängden etanol i 1 ml får vi mängden i 100 ml genom att multiplicera den med 100:

$$0,3\text{ml}\cdot 100=30\text{ml}$$

Lösningen har alltså koncentrationen 30 ml etanol per 100 ml. Det är alltså en 30-procentig lösning.

Blandningsekvationen

Med hjälp av blandningsekvationen kan vi beräkna koncentrationen hos en lösning som vi får genom att blanda två olika lösningar. Låt oss säga att vi har två lösningar:

1. en lösning på 500 ml som innehåller 30 % etanol,
2. en lösning på 400 ml som innehåller 20 % etanol.

Vilken koncentration får vi om vi blandar de här lösningarna? Låt V₁ = 500 vara volymen av den första lösningen, V₂ = 400 volymen av den andra lösningen och V = V₁ + V₂ volymen av den resulterande lösningen.

Vi behöver också den så kallade volymandelen, som bara är koncentrationen i procent omskriven som ett bråk. Den första lösningen med koncentrationen 30 % har alltså volymandelen $c_1=\frac{30}{100}$ och den andra lösningen med koncentrationen 20 % har volymandelen $c_2=\frac{20}{100}$. (Om vi räknade med gram i stället för liter skulle vi ha massandelar, men principen vore densamma.) Låt den resulterande lösningen ha volymandelen c. Nu kan vi skriva upp blandningsekvationen:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

I den här ekvationen är den enda obekanta den resulterande koncentrationen c. Alla värden till vänster om likhetstecknet känner vi från uppgiften, och den resulterande volymen V känner vi också, den är bara summan av volymerna V₁ och V₂:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Vi sätter in de konkreta värdena för alla variabler:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

I vänsterledet beräknar vi nu produkterna av bråken och i högerledet adderar vi bara volymerna:

$$150+80=c\cdot 900$$

Nu dividerar vi hela ekvationen med 900, så att bara den slutliga koncentrationen c blir kvar i högerledet:

$$\frac{150+80}{900}=c$$

Vi räknar ut täljaren och byter plats på vänsterledet och högerledet i blandningsekvationen (vi vill vanligtvis ha den obekanta till vänster):

$$c=\frac{230}{900}$$

Det är vår resulterande volymandel. Om vi vill ha den som decimaltal beräknar vi 230 delat med 900:

$$\frac{230}{900}=\mathrm{0,255}555\dots$$

Procentuttrycket får vi genom att multiplicera det här talet med 100, vilket ger ungefär 25,6 %. Den resulterande lösningen får alltså koncentrationen ungefär 25,6 %, det vill säga ungefär 25,6 ml etanol per 100 ml.

Vad ska vi späda med för att få önskad lösning?

Vi kan också behöva ta reda på något lite annat. Vi har återigen en lösning på 500 ml som innehåller 30 % etanol och en andra lösning som innehåller 55 % etanol. Hur många ml av den andra lösningen måste vi blanda med den första för att få en 40-procentig lösning? Vi använder återigen blandningsekvationen

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Den enda obekanta är nu V₂, allt annat känner vi till. Till skillnad från förra fallet känner vi nämligen $c=\frac{40}{100}$, eftersom vi vet vilken lösning vi vill blanda fram. Vi sätter in de kända värdena i blandningsekvationen:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

Vi multiplicerar hela ekvationen med 100:

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

Vi beräknar produkten i vänsterledet och multiplicerar in i parentesen i högerledet:

$$15000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

Vi subtraherar 15 000 från båda led:

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15000$$

Vi subtraherar 40 · V₂ från båda led:

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15000$$

Vi förenklar så långt det går:

$$15\cdot V_2=20000-15000$$

Vi subtraherar i högerledet:

$$15\cdot V_2=5000$$

Vi dividerar båda led med 15:

$$V_2=\frac{5000}{15}=\mathrm{333,333}\dots$$

Vi måste alltså hälla till ungefär 333 ml (en tredjedels liter) av den andra, 55-procentiga lösningen för att få en lösning med koncentrationen 40 %. Vi kan kontrollera om vi har räknat rätt. Den första lösningen på 500 ml innehöll 30 % etanol, vilket betyder att den innehöll 150 ml etanol. Om vi häller till 333 ml av den andra, 55-procentiga lösningen innehåller den 183 ml etanol. Totalt fick vi alltså en lösning med volymen 500 ml + 333 ml, vilket är 833 ml, som innehåller 150 ml + 183 ml, vilket är 333 ml etanol. Vi beräknar kvoten

$$\frac{333}{833}\approx 0,4$$

Vi fick alltså (efter avrundning) en 40-procentig lösning av etanol och vatten.