Finns det fler jämna eller udda tal?

Vad tror du, vilka tal finns det fler av? Jämna eller udda? Eller är de lika många? Hur skulle vi kunna avgöra det? Och hur är det med andra tal? Finns det fler jämna tal eller positiva heltal? Positiva heltal eller rationella tal? Det är inte helt enkelt, eftersom det finns oändligt många av alla dessa tal. Ändå kan vi jämföra dem och ta reda på vilka tal det finns fler av och vilka det finns färre av.

Vi börjar med att visa det på en liten mängd tal. Tänk dig två mängder tal: blå tal och röda tal:

Kan vi på något sätt säga vilka tal det finns fler av? Röda eller blå? Det syns tydligt att… Va? Du är färgblind och ser det inte tydligt? Okej, från och med nu visar vi dessutom de röda talen som kvadrater:

Bra, nu ser vi tydligt att det finns fler blå tal än röda. Det var enkelt, eftersom vi arbetar med ändliga mängder tal och därför kan räkna dem. Vi ser att vi har sex blå tal och bara tre röda. Oändliga mängder blir inte lika enkla, eftersom vi inte kan räkna dem. Låt oss alltså besvara frågan i rubriken: finns det fler jämna eller udda tal? För enkelhetens skull håller vi oss till de positiva talen. Tänk dig en säck full av alla udda tal och en säck full av alla jämna tal. Vilken säck är större?

Nja, att föreställa sig oändligt många tal är inte direkt enkelt, och att räkna dem är ännu svårare. Finns det inget annat sätt att jämföra storleken på mängder?

Jämförelse av två ändliga mängder

Tänk dig att vi har en säck full av brudgummar och en säck full av brudar. Om vi har en brud till varje brudgum och en brudgum till varje brud kan vi säga att vi har lika många brudgummar som brudar:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Ser du? Varje brud på första raden har sin egen man på andra raden, och tvärtom — varje man har sin egen fru. Men det skulle också kunna se annorlunda ut: varje brud har sin man, men inte varje man har en brud:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Varje fru har en man, men en man står ensam och ledsen kvar utan fru. När en man blir över kan vi säga att vi har fler män än fruar. På samma sätt, om en brud blir över

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

kan vi säga att vi har fler brudar än män.

Jämförelse av två oändliga mängder

Kan vi använda samma metod när vi jämför två oändliga mängder? Kan vi para ihop varje udda tal med något jämnt tal och varje jämnt tal med något udda tal, utan att använda något av talen mer än en gång? Ja, det kan vi! Varje udda tal n kan vi para ihop med det jämna talet n + 1. Alltså paras talet 5 ihop med 5 + 1, talet 149 med 150 och så vidare. Följande animation visar hopparningen:

För varje udda rött tal har vi ett motsvarande unikt blått jämnt tal, och för varje jämnt blått tal har vi ett motsvarande unikt rött udda tal. Vi har lyckats para ihop alla udda tal med alla jämna tal. Det betyder att det finns lika många jämna som udda tal!

Okej, det var inte särskilt överraskande, eller hur? Låt oss jämföra andra mängder tal: alla positiva heltal mot de jämna talen. Här blir resultatet mer chockerande.

Finns det fler positiva heltal eller jämna tal?

Vilka tal finns det fler av? Positiva heltal eller jämna tal?

Vi ser tydligt att de positiva heltalen innehåller alla jämna tal. Dessutom innehåller de positiva heltalen en del tal till — de udda talen. Då måste det ju finnas fler positiva heltal — de innehåller ju dubbelt så många tal!

Ja, om livet bara vore så enkelt!

Vi är ju inte intresserade av om den ena mängden innehåller några tal extra. Vi vill veta om vi kan para ihop talen i de två mängderna. Kan vi para ihop varje jämnt tal med ett positivt heltal, trots att det finns fler positiva heltal? Jo, det kan vi.

Varje positivt heltal p kan vi enkelt para ihop med det jämna talet 2 · p, och tvärtom — varje jämnt tal n kan vi para ihop med det positiva heltalet n / 2. Alltså paras det positiva heltalet 5 ihop med det jämna talet 10, och det jämna talet 14 paras ihop med det positiva heltalet 7 och så vidare. Följande animation visar hopparningen för de första talen:

Plötsligt har vi för varje positivt heltal ett unikt jämnt tal, och för varje jämnt tal ett unikt positivt heltal! Vad spelar det för roll att det finns fler positiva heltal? Det finns oändligt många av båda sorterna, och vi kommer aldrig att få slut på dem. Ur vår synvinkel är alltså mängden av jämna tal lika stor som mängden av positiva heltal! 😱

Det är lite ointuitivt, men det är så det är.

Finns det fler positiva heltal eller rationella tal?

Rationella tal är bråk. Alla tal som kan skrivas på formen p/q, där p och q är heltal och q ≠ 0, är rationella tal. Till exempel är ½, ¾ och 8 rationella tal, men π är inte ett rationellt tal. Det finns mycket fler rationella tal än positiva heltal. Mellan talen 2 och 4 finns till exempel bara ett enda heltal, nämligen 3, men oändligt många rationella tal. Det finns oändligt många rationella tal även mellan 0,001 och 0,002. Så många rationella tal finns det!

Man skulle alltså vänta sig att mängden av rationella tal måste vara större än mängden av positiva heltal. Men samtidigt anar vi nog alla att det finns en hake. Okej, låt oss försöka para ihop de rationella talen med de positiva heltalen. Vi börjar med att skriva upp de rationella talen i en sådan här tabell:

Mönstret borde vara tydligt: alla bråk på första raden har en etta i täljaren (ovanför bråkstrecket) och i nämnaren successivt växande tal 1, 2, 3 och så vidare. I kolumnerna är det tvärtom. Om vi fortsatte i all oändlighet skulle vi ha alla existerande bråk i den här tabellen. Bråket 1478/517 finns till exempel på rad 1478 och i kolumn 517. Låt oss nu försöka skapa vår hopparningsfunktion. Vi skulle kunna göra den så här:

• Det positiva heltalet 1 paras ihop med det första bråket på första raden, alltså 1/1
• Det positiva heltalet 2 paras ihop med det andra bråket på första raden, alltså 1/2
• Det positiva heltalet 3 paras ihop med det tredje bråket på första raden, alltså 1/3
• Det positiva heltalet 4 paras ihop med det fjärde bråket på första raden, alltså 1/4
• …

Har vi på det här sättet lyckats para ihop alla positiva heltal? Ja. Varje positivt heltal har en motpart. Det positiva heltalet 174 har bråket 1/174 som motpart. Men gäller det också åt andra hållet? Har varje bråk en motpart bland de positiva heltalen? Vilken motpart har bråket 2/3? Ingen, eftersom vi med vår hopparningsfunktion aldrig kom till andra raden. Vi lyckades bara para ihop första raden av bråk.

Betyder det att det finns fler rationella tal än positiva heltal? Nej, tyvärr inte — att en hopparningsstrategi inte fungerar betyder inte att en annan inte gör det. Låt oss den här gången gå längs diagonalerna:

• Det positiva heltalet 1 paras ihop med bråket 1/1 (första diagonalen),
• det positiva heltalet 2 paras ihop med bråket 1/2 (andra diagonalen),
• det positiva heltalet 3 paras ihop med bråket 2/1 (andra diagonalen),
• det positiva heltalet 4 paras ihop med bråket 1/3 (tredje diagonalen),
• det positiva heltalet 5 paras ihop med bråket 2/2 (tredje diagonalen),
• det positiva heltalet 6 paras ihop med bråket 3/1 (tredje diagonalen),
• och så vidare.

Du kan se hopparningsstrategin i animationen:

På det här sättet kan vi täcka alla bråk. Ingen diagonal är oändlig, så vi fastnar aldrig i en diagonal ”för alltid”. Till slut har varje bråk fått ett positivt heltal, och varje positivt heltal har förstås fått ett unikt bråk.

Nja… Egentligen inte riktigt. När vi tittar på vår tabell med bråk igen ser vi att många tal upprepas. Bråken 1/1, 2/2, 3/3 och så vidare representerar till exempel samma tal — talet 1. På samma sätt representerar bråken 1/2, 2/4 och 3/6 en halv. I själva verket avbildar vi alltså de positiva heltalen 1, 5, 13 och så vidare på samma rationella tal 1! Vi har flera brudgummar som gifter sig med samma brud. Det går inte!

Som tur är kan vi enkelt rätta till det. Vi stryker helt enkelt ur tabellen alla bråk som inte står i enklaste form, det vill säga alla bråk som går att förkorta. Efter det finns bara unika rationella tal kvar i tabellen, och vårt diagonaltrick fungerar. Varje positivt heltal paras ihop med ett unikt rationellt tal och tvärtom.

Det betyder att mängden av positiva heltal är lika stor som mängden av rationella tal!

Hittills ser det ut som att alla oändliga mängder är lika stora. Finns det någon oändlig mängd som är större än mängden av positiva heltal?

Finns det fler positiva heltal eller reella tal?

Nu kommer vår sista räddning in i bilden: de reella talen. Några andra tal har vi inte kvar på tallinjen. Hur ser de reella talen ut? De reella talen innehåller alla rationella tal och dessutom alla irrationella. Om vi skriver talet i decimalform gäller för ett rationellt tal att det:

• antingen har en ändlig decimalutveckling, till exempel 0,4841554,
• eller har en oändlig periodisk decimalutveckling: 0,1313131313…

Irrationella tal har däremot alltid en oändlig decimalutveckling som dessutom inte är periodisk. Ett irrationellt tal är till exempel π, som är lika med 3,141592653… (ingen period). Låt oss genast säga i förväg att det finns mycket fler reella tal än rationella tal, och alltså än positiva heltal. Mängden av reella tal är större än mängden av positiva heltal. Hur kan vi bevisa det?

Tänk dig att vi har hittat en hopparningsstrategi som parar ihop alla positiva heltal med alla reella tal. Säg att den ser ut så här:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Anta att vi har alla positiva heltal till vänster och alla reella tal till höger. Om det vore sant skulle vi inte kunna hitta något reellt tal som saknas på högra sidan. Eftersom vi redan har avslöjat att mängden av reella tal är större betyder det att något tal saknas på högra sidan. Jo, men vilket då? Vi ser till exempel att talet 0,4818063607183678 saknas. Men tänk om det gömmer sig under talet 8?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

Och talet 0,4208424736008147? Det ser vi inte heller. Men tänk om det gömmer sig under talet nio?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Så här går det inte. Eftersom vi förstås inte kan skriva upp alla par, för det finns oändligt många, kan vi inte bara gissa om det här talet råkar finnas med eller inte. Vi skulle behöva hitta ett tal som skiljer sig från alla tal på högra sidan i tabellen, trots att vi inte vet vilka alla tal på högra sidan är. Hur gör vi det?

För att två tal ska vara olika räcker det att de skiljer sig åt i en enda siffra. Till exempel är talen 0,123456 och 0,123457 inte lika — men de skiljer sig bara i en siffra. Det räcker. Vi kan alltså i vår tabell alltid markera den n:te siffran efter decimalkommat i det n:te reella talet:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

och bygga det nya talet så att dess n:te siffra efter decimalkommat skiljer sig från den n:te siffran i det n:te reella talet. Vi konstruerar alltså det nya talet genom att börja med en nolla: 0,??? och välja den första siffran efter decimalkommat så att den skiljer sig från den första siffran i det första reella talet, alltså så att den skiljer sig från trean. Vi skriver till exempel 0,1???. Den andra siffran måste vara skild från den andra siffran i det andra reella talet, alltså skild från 9. Vi skriver till exempel en tvåa: 0,12???. Och så vidare. De första nio siffrorna skulle alltså kunna se ut så här 0,123123127 (se sista raden i tabellen):

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

Vi ser att det här talet är skilt från alla tal, eftersom det alltid skiljer sig från varje tal i minst en siffra. Trots att vår tabell innehåller oändligt många tal är vårt nya tal uppbyggt av oändligt många siffror på ett sådant sätt att det skiljer sig från alla tal i tabellen i minst en siffra. Och lägg märke till att vi kan konstruera oändligt många tal som inte finns i tabellen! Vad följer av det? Vi kan inte para ihop de positiva heltalen med de reella talen. Det blir alltid oändligt många reella tal över som inte paras ihop med något positivt heltal. Det finns mycket fler reella tal än positiva heltal.

Några avslutande anmärkningar

• För enkelhetens skull har vi i hela artikeln bortsett från de negativa talen. De ändrar förstås ingenting, och som hemuppgift kan du anpassa de hopparningsstrategier som nämns här så att de fungerar även med negativa tal.
• Storleken på mängden av positiva heltal har till och med ett eget namn. Den kallas alef-noll.
• I matematiken använder vi ofta begreppet kardinalitet eller mäktighet hos en mängd i stället för ”storlek på en mängd”.