Vektorrum

Ett vektorrum, ibland också kallat linjärt rum, är en mängd av element som måste uppfylla vissa egenskaper, som gör att elementen i mängden, som vi kallar vektorer, beter sig ”snyggt”.

Exempel på ett vektorrum

Innan vi definierar vektorrum visar vi ett exempel på ett vektorrum som du redan borde känna till från gymnasiet, även om du inte vet att det är ett vektorrum. Det är de vanliga vektorerna i planet.

Med en vektor i planet menar vi ett ordnat par (a, b), där a, b ∈ ℝ. Det är godtyckliga koordinater i rummet ℝ² (med det menar vi den kartesiska produkten ℝ × ℝ). En sådan vektor kan vi åskådliggöra som en pil från punkten (0, 0) till punkten (a, b). Vektorn (2, 3) ser ut så här:

Vi vet att vektorer kan adderas enligt regeln (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Summan av vektorerna (2, 3) + (4, 1) blir alltså vektorn (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Grafiskt ser det ut så här:

Samtidigt kan vi beräkna k gånger en vektor, där k är ett reellt tal. k gånger en vektor skriver vi k · (a, b). Resultatet är en ny vektor som definieras som k · (a, b) = (k · a, k · b). Grafiskt innebär det att vektorn ”förlängs”, ”förkortas” eller byter riktning. Om vi har vektorn u = (2, 3) ser vektorerna 2 · u, $\frac{1}{2}u$ och −1 · u ut så här:

Att mängden av alla vektorer ℝ² med de här operationerna bildar ett vektorrum bevisar vi senare. Först definierar vi vektorrum och visar de enskilda egenskaperna på just det här vektorrummet ℝ².

Definition av vektorrum

Ett vektorrum (eller linjärt rum) är en icke-tom mängd V vars element vi kallar vektorer. På mängden måste dessutom två operationer finnas: addition av vektorer, alltså en avbildning V × V ⟶ V, och multiplikation av en vektor med ett reellt tal, alltså en avbildning ℝ × V ⟶ V. (Mer allmänt kan man i stället för de reella talen använda vilken kropp som helst, men det tar vi upp i senare artiklar.) Addition av vektorer betecknar vi med tecknet +, multiplikation med ·. De här två operationerna måste uppfylla följande villkor. Alltså, för alla x, y, z ∈ V och för alla a, b ∈ ℝ måste det gälla (lägg märke till att vektorerna x, y, z är i fetstil, medan talen a, b är i vanlig stil):

1. x + y = y + x: addition av vektorer är kommutativ. Om vi återvänder till exemplet med vektorer i ℝ² spelar det ingen roll om vi adderar vektorerna så här (2, 3) + (4, 1) eller tvärtom: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): addition av vektorer är associativ. Vi kan återigen sätta in några vektorer från ℝ² och se att det stämmer.
• a · (b · x) = (a · b) · x: den associativa lagen för multiplikation. För våra vektorer gäller att 4 · (5 · (6, 7)) är detsamma som (4 · 5) · (6, 7). Båda exemplen leder till vektorn (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: den distributiva lagen för vektorer från V. Vi ser återigen att 2 · ((2, 3) + (4, 5)) är detsamma som 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Båda uttrycken leder till vektorn (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: distributivitet för addition av tal.
• 1 · x = x: om vi multiplicerar en godtycklig vektor med det reella talet 1 ändras inte vektorns värde. I vårt fall gäller att 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Det finns ett element 0 ∈ V sådant att 0 · x = 0. En fet nolla, alltså 0, är den så kallade nollvektorn, medan en nolla i vanlig stil, 0, helt enkelt är talet noll. Den här punkten säger att det i V måste finnas en vektor som vi får genom att multiplicera en godtycklig vektor x ∈ V med talet noll. För vårt rum ℝ² är det vektorn (0, 0), eftersom det för alla vektorer (a, b) ∈ ℝ² gäller att 0 · (a, b) = (0, 0).

Det här är alla egenskaper som ett vektorrum (linjärt rum) V måste uppfylla. Om vi multiplicerar en vektor med något reellt tal a kallar vi talet a en skalär. Vi talar därför ofta om multiplikation med skalär och menar då ett uttryck på formen a · x, där a är ett reellt tal och x är en vektor.

Plustecknet + har två betydelser

Observera att plustecknet + i vissa uttryck kan ha två betydelser. Till exempel har vi i punkten om distributivitet för addition av tal ekvationen (a + b) · x = a · x + b · x. Plustecknet i vänsterledet adderar reella tal, eftersom både a och b är reella tal, medan plustecknet i högerledet adderar vektorer, eftersom produkten a · x är en vektor.

Det här automatiska urskiljandet används ofta i matematiken — av sammanhanget är det alltid klart vilken addition som menas. Om vi har uttrycket x + y och x, y är vektorer använder vi vektoraddition. Om x, y vore tal skulle vi använda vanlig addition. Om de vore matriser skulle vi använda matrisaddition, och så vidare.

Vi skulle kunna använda ett annat tecken för addition av vektorer, till exempel ⊕. Då kunde vi skriva distributiviteten för addition av tal så här: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Det vanliga + betecknar här addition av de reella talen a, b, medan tecknet ⊕ betecknar addition av vektorer. Oftast används dock samma tecken + för båda slagen av addition, och betydelsen avgörs av sammanhanget. Detsamma gäller tecknet ·.

Vektorrummet R²

I den första delen definierade vi vektorrummet V = ℝ², och nu bevisar vi att det verkligen är ett vektorrum. Först måste vi kontrollera att operationerna addition och multiplikation är korrekt definierade. Additionen ska addera två vektorer, och resultatet ska vara en ny vektor. Det är uppfyllt, eftersom (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). När vi adderar två vektorer från ℝ² får vi en ny vektor från ℝ².

Om vi till exempel skulle definiera addition av vektorer som summan av deras längder, vore det ingen giltig additionsoperation i ett vektorrum. Längden av vektorn (a, b) beräknar vi som $\sqrt{a^2+b^2}$. Resultatet av summan (3, 4) + (5, 12) skulle då bli talet $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, och det är ingen vektor i rummet ℝ².

Sedan måste vi kontrollera att multiplikationen är korrekt definierad. Multiplikationen multiplicerar ett reellt tal med en vektor från ℝ², och resultatet ska vara en ny vektor från ℝ². Det är återigen uppfyllt, eftersom multiplikation med skalär är definierad som k · (a, b) = (k · a, k · b).

Därefter kontrollerar vi i tur och ordning alla 7 egenskaper som ett vektorrum måste uppfylla. För de enskilda vektorerna x, y sätter vi in våra vektorer (a, b), (c, d), … allt efter vad som passar, låt dig inte skrämmas av det.

1. x + y = y + x, kommutativitet för addition av vektorer. Är den addition av vektorer som vi definierat kommutativ? Ja, det är den, eftersom den är definierad som (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Om vi byter plats på vektorerna i vänsterledet får vi: (c, d) + (a, b) = (c + a, d + b). Eftersom c + a är en summa av två reella tal och addition av reella tal är en kommutativ operation gäller c + a = a + c, och detsamma för det andra paret: d + b = b + d. Det gäller alltså att (a + c, b + d) = (c + a, d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Det här blir lite av en lek med parenteser. I grunden handlar det om enkla omskrivningar, de blir bara svåröverskådliga, eftersom det helt enkelt blir så många parenteser. Vi försöker beräkna den här summan av vektorer:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Eftersom a, c, e är reella tal och addition är associativ för reella tal gäller (a + c) + e = a + c + e. Detsamma gäller för den andra koordinaten. Vi kan alltså skriva att

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Nu försöker vi addera samma vektorer med parenteserna placerade på ett annat sätt:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Återigen gäller a + (c + e) = a + c + e, så vi kan skriva att

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Vi ser alltså att hur vi än sätter parenteser i en summa av tre vektorer kommer vi alltid fram till samma vektor (a + c + e, b + d + f). Additionen i ℝ² är alltså associativ och uppfyller även den andra egenskapen hos vektorrum.

Du kan försöka sätta in konkreta tal för variablerna a, …, f, så ser du att det stämmer.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Vi skriver återigen först ut vänsterledet, och för x sätter vi in vektorn (c, d):

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Eftersom multiplikation av reella tal är associativ får vi likheten a · (b · c) = a · b · c. Vi kan alltså skriva:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Nu skriver vi ut högerledet, alltså sidan (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Återigen gäller (a · b) · c = a · b · c, så:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Vi ser att båda leden i ekvationen leder till den resulterande vektorn (a · b · c, a · b · d), så ekvationen gäller.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Tillvägagångssättet blir detsamma, vi skriver ut vänsterledet:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Eftersom a, c, e är reella tal, för vilka den distributiva lagen gäller, får vi likheten: a · (c + e) = ac + ae. Vi kan alltså skriva:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Högerledet:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Vi ser att vänsterledet och högerledet är lika efter förenklingarna.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Vi går tillväga på nästan samma sätt som i det föregående steget. Förenkling av vänsterledet:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

Högerledet:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: Jag tror visserligen inte att någon alls har orkat läsa ända hit, men visst, vi fortsätter :-). Den här punkten är åtminstone enkel. Vi ska kontrollera att 1 · (a, b) = (a, b). Det gäller förstås, eftersom

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• Det finns ett element 0 ∈ ℝ² sådant att 0 · x = 0: det är vektorn (0, 0). För den gäller att 0 · (a, b) = (0, 0), eftersom

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Storleken hos vektorrum

Vilket är det minsta vektorrummet? Av definitionen vet vi att ett vektorrum är en icke-tom mängd V, så den minsta möjliga storleken vi kan tänka oss är en mängd med en enda vektor. Av den sjunde punkten i definitionen vet vi att rummet måste innehålla nollvektorn. Mängden V = {0} är alltså en kandidat till det minsta vektorrummet.

Addition kan vi definiera som 0 + 0 = 0 och multiplikation som a · 0 = 0. Vad vi än gör får vi alltid nollvektorn. Den här mängden med ett enda element har uppenbarligen alla sju egenskaper som krävs.

Vi vet nu att det finns ett vektorrum med ett enda element. Finns det ett vektorrum med två element? Kan vi definiera addition och multiplikation på mängden V = {x, 0} så att det blir ett vektorrum?

Svaret är att nej, det finns inget vektorrum med två element. Och det finns inte heller något annat ändligt vektorrum än det nämnda med ett enda element. Alla övriga vektorrum är oändliga. Om vi däremot, som antyddes, skulle använda någon annan, ändlig, kropp i stället för de reella talen, skulle vi kunna få även andra ändliga vektorrum.

Sammanfattning

Definitionen av vektorrum är inte helt enkel, vektorerna och operationerna måste uppfylla sammanlagt 7 villkor, vilket inte är så få. Å andra sidan är villkoren ganska triviala och begripliga — de syftar till att det ska gå bra att arbeta med vektorerna. Tack vare de definierade villkoren kan vi addera vektorer ur ett vektorrum utan att behöva kontrollera om resultatet blir en vektor från något annat vektorrum. På samma sätt kan vi multiplicera en vektor med ett reellt tal och alltid få en vektor från samma rum. Att vektorerna och deras operationer följer den kommutativa, den associativa och den distributiva lagen är också ganska naturligt.

Vi skulle kunna definiera vektorrum ännu mer allmänt. I stället för de reella talen kan vi ta vilken kropp som helst. Det kommer vi till i senare artiklar.