Algebraiska kroppar

För att förstå följande förklaring behöver du inga särskilda matematikkunskaper. Det räcker med att behärska de allra enklaste grunderna i gymnasiematematiken och att vara nyfiken på något nytt.

Spöket algebraisk kropp

Om själva namnet algebraisk kropp redan skrämmer dig kan du vara lugn, det finns verkligen inget att vara rädd för. En sådan kropp är i själva verket något mycket enkelt, om man bara tittar på den från rätt håll.

En algebraisk kropp är vilken godtycklig mängd som helst plus två binära operationer som uppfyller vissa villkor. Det var allt, varken mer eller mindre. Som du ser är det inget farligt eller hemskt. Och nu när vi vet det kan vi utan rädsla ta en titt lite närmare.

Kroppens mängd av element

Vår godtyckliga mängd kallar vi T, och dess element kallar vi kroppens element. Tro mig, mängden av kroppens element kan vara helt godtycklig. Det kan vara mängden av alla jämna tal, mängden av alla strumpor som saknar sin like eller kanske din samling av gosedjurselefanter. Det enda villkoret är kanske att mängden T inte får vara tom. Då skulle vi inte ha mycket roligt.

Binär operation

Om det inte genast är klart vad en binär operation egentligen är kan du tänka dig den som en liten kvarn. Du stoppar i två (därav ”binär” i namnet) element ur en mängd, vevar lite på handtaget, och ut ramlar ett nytt element ur samma mängd. Ett fint exempel på en binär operation är division. Undrar du vad 10 / 5 blir? Ta den binära operationen division (kvarnen), där din mängd är mängden av reella tal. Häll först i tian och sedan femman, veva på handtaget och, tänk dig, ut ramlar tvåan.

Vi ger våra två operationer namnen addition och multiplikation och betecknar dem ⊕ och ⊗. Låt dig inte förvirras av namnen. De behöver inte ha mycket gemensamt med den addition och multiplikation som vi vanligtvis använder. Det beror just på att kroppens element kan vara vilka objekt som helst. Och på gosedjurselefanter eller strumpor går ”vår” addition och multiplikation inte att använda.

Operationer i kroppen

Operationerna ⊕ och ⊗ måste uppfylla vissa villkor. Vi kan inte införa dem helt fritt. Syftet med operationerna är nämligen att generalisera den vanliga additionen och multiplikationen som vi använder för tal. Vi vill kunna använda dem på kroppens element, som vi redan vet kan vara helt godtyckliga objekt, alltså inte bara tal. Ändå vill vi att ⊕ och ⊗ ska behålla någon grundläggande betydelse av addition och multiplikation. Det ordnar vi genom att införa tio villkor som operationerna måste uppfylla för att vår struktur ska vara en kropp. Dessa villkor kallar vi kroppsaxiomen. Här är de:

1. Kommutativitet för addition — För två godtyckliga element a, b i kroppen T måste det gälla att a ⊕ b = b ⊕ a.

• Associativitet för addition — För tre godtyckliga element a, b, c i kroppen T måste det gälla att (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
• Existens av nollelement — Det måste finnas ett element i kroppen T, som vi betecknar 0 (obs, förväxla det inte med talet 0), med egenskapen att för varje element a i kroppen T gäller a ⊕ 0 = a.
• Existens av motsatt element — Till varje element a i kroppen T måste det finnas ett element i kroppen T, som vi betecknar -a, med egenskapen att a ⊕ −a = 0.
• Kommutativitet för multiplikation — För två godtyckliga element a, b i kroppen T måste det gälla att a ⊗ b = b ⊗ a.
• Associativitet för multiplikation — För tre godtyckliga element a, b, c i kroppen T måste det gälla att (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
• Existens av enhetselement - Det måste finnas ett element i kroppen T, som vi betecknar 1 (obs, förväxla det inte med talet 1), med egenskapen att för varje element a i kroppen T gäller a ⊗ 1 = a.
• Existens av inverst element — Till varje element a i kroppen T som är skilt från 0 måste det finnas ett element i kroppen T, som vi betecknar a⁻¹, med egenskapen att a ⊗ a⁻¹ = 1.
• Distributivitet - För tre godtyckliga element a, b, c i kroppen T måste det gälla att a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
• Icke-trivialitet — Nollelementet och enhetselementet får inte vara samma element. Alltså 0 ≠ 1

För dig som vill öva på matematisk formalism har jag här skrivit kroppsaxiomen så som de skrivs i matematikens fackspråk.

1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a

• ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
• ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
• ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
• ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
• ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
• ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
• ∀a ∈ T   ∃a⁻¹ ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a⁻¹ = 1
• ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
• 0 ≠ 1

Nu tänker du kanske att det är förfärligt många axiom. Men alla är lätta att förstå när man inser vad de betyder. De fyra första beskriver additionens vanliga egenskaper och de fyra följande multiplikationens vanliga egenskaper, som dessutom liknar de första fyra mycket. Det nionde axiomet säger hur addition och multiplikation hänger ihop. Bara det tionde är mer av en teknisk detalj, som ser till att kroppen inte kan få några konstiga egenskaper.

Lägg märke till hur fint vi slapp införa subtraktion och division. De operationerna införs med hjälp av addition av det motsatta elementet och multiplikation med det inversa elementet. Till exempel är 4 − 2 bara en förkortning av 4 + (−2) och 4 / 2 bara en förkortning av 4 · 2⁻¹.

Ett urval av kroppar

Nu har vi formellt infört begreppet algebraisk kropp. Om vi intuitivt vill uttrycka vad en kropp egentligen är kan vi säga att det är en struktur som låter oss addera, subtrahera, multiplicera och dividera godtyckliga objekt, så länge vi kan definiera operationerna på dem, och det på ett sätt som liknar hur vi utför operationerna i elementär aritmetik.

Vår första kropp

Nu när vi så fint har hittat på och beskrivit kroppar ska vi konstruera en riktig kropp. Först väljer vi mängden av kroppens element. Vi experimenterar inte med gosedjurselefanter eller strumpor än, utan väljer naturliga tal som kroppens element. För att allt ska bli riktigt enkelt tar vi bara talen 0, 1, 2, 3, 4. Vår mängd T ser alltså ut så här:

$$T=\{0,1,2,3,4\}$$

Nu återstår bara att på ett smart sätt definiera operationerna ⊕ och ⊗. Här tar vi hjälp av addition och multiplikation som vi redan känner från aritmetiken. Vi ändrar dem bara lite så att de fungerar i vår kropp.

• Operationen ⊕ Summan av två element a ⊕ b får vi genom att beräkna resten vid division med fem av summan a + b . Additionen i vår kropp fungerar alltså så här: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 osv.
• Operationen ⊗ Produkten av två element a ⊗ b får vi genom att beräkna resten vid division med fem av produkten ab . Multiplikationen i vår kropp fungerar alltså så här: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    osv.

Det var allt. Nu har vi en fullvärdig kropp. Vi borde bara kontrollera att alla axiom gäller, så att vi är säkra på att vi har konstruerat en riktig kropp och inte något oting.

• Kommutativiteten och associativiteten för addition och multiplikation kan du säkert kontrollera själv, liksom distributiviteten.
• Av hur vi definierade addition och multiplikation följer också att det finns ett nollelement (i vårt fall är det av en händelse just talet 0) och ett enhetselement (i vårt fall 1), och att de är olika.
• Nu återstår bara att kontrollera att det finns motsatta och inversa element. Vi ser säkert alla att till varje tal i mängden {0, 1, 2, 3, 4} finns det ett tal i samma mängd så att deras summa är noll eller fem (alltså 0 i vår kropp).
• På samma sätt gäller det för multiplikation: till varje tal i mängden som inte är noll finns det ett tal vars produkt med det första ger resten 1 vid division med fem (alltså 1 i vår kropp). Till exempel har talet 4 det inversa elementet 4, eftersom 4 · 4 = 16 och resten vid division med 5 är 1. Försök hitta de andra inversa elementen!

Exempel på fler kroppar

Nyss konstruerade vi en kropp med fem element. Det visar sig att man på samma sätt kan konstruera andra kroppar där antalet element är ett primtal. Sådana kroppar kallas restklasskroppar och betecknas Z_p, där p är antalet element i kroppen. De används mycket ofta, både i matematik och datavetenskap och förstås också i olika provuppgifter.

Går det att konstruera kroppar med ett annat antal element än ett primtal? Ja, det går, men inte på det sätt som jag just visade. Varför? Tänk dig en kropp som är konstruerad med metoden ovan och som bara har fyra element. I en sådan kropp gäller 2 ⊗ 2 = 0. Alltså är produkten av två tal som inte är noll lika med noll. Det får inte hända i en kropp. Det är visserligen inte direkt förbjudet i kroppsaxiomen, men det går ganska lätt att härleda ur dem. Det visar sig dock att om man använder polynom i stället för tal som kroppens element kan man konstruera kroppar vars antal element är en potens av ett primtal. Det finns alltså en kropp med fyra element, eftersom fyra är en potens av två.

Det finns förstås också kroppar med oändligt många element. Till exempel bildar mängden av de reella talen med våra vanliga operationer addition och multiplikation också en kropp. Det gäller förstås inte bara de reella talen, utan också de rationella och de komplexa. De naturliga talen och heltalen bildar ingen kropp, eftersom de saknar motsatta respektive inversa element.

Och det bästa kommer sist. Ingen föreskriver förstås att kroppar måste bestå av tal, polynom eller överhuvudtaget några matematiska objekt. Som jag redan har sagt kan du konstruera en kropp av strumpor, gosedjurselefanter och så vidare. Det enda problemet blir förmodligen hur man definierar addition och multiplikation på elefanter. Här är det intressant att du aldrig kan lyckas konstruera en kropp som innehåller sex strumpor, eftersom sex varken är ett primtal eller en potens av ett primtal. Men du kan utan problem konstruera en kropp med sjutton strumpor, numrera dem (den vita strumpan blir 0, den svarta 1, den gröna 2 osv.) och sedan addera dem på samma sätt som vi adderade i restklasskroppen.

Och vad ska det vara bra för?

Om du har läst ända hit undrar du kanske vad i all världen vi ska med en så galen struktur som en algebraisk kropp. Jo, kroppar är mycket viktiga, både ur teoretisk synvinkel, eftersom de beskriver och framför allt generaliserar det man skulle kunna kalla räkning, alltså aritmetik, och ur praktisk synvinkel, eftersom många matematiska eller datavetenskapliga problem blir lättare att lösa om vi föreställer oss dem som räkning i kroppar. Ändliga kroppar är till exempel mycket viktiga för koderna på cd- och dvd-skivor. Vad gäller själva den linjära algebran är kroppar dessutom grunden för andra, mer komplicerade och därmed också mycket mer användbara och intressanta strukturer, som vektorrum. De utgör nämligen ett slags grund för hela den linjära algebran.

Författare till den här artikeln är Lishaak.