Matriser

En matris över en kropp P är en avbildning {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. En matris betecknas vanligen med stora bokstäver: A = (…). Och nu på vanlig svenska.

Grundbegrepp

En matris är helt enkelt en slags tabell med n kolumner och m rader, men observera att rader och kolumner inte alltid betecknas på samma sätt. I varje ruta i tabellen står sedan ett tal eller något annat uttryck. En matris behöver inte vara rent numerisk, även om du i början troligen inte stöter på några andra. Så här kan en matris se ut:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Den här matrisen har två rader och tre kolumner. Elementen i matrisen betecknas med index och i stället för en stor bokstav används en liten: a₁₁ = 0 eller a₂₃ = 51. Det första indexet anger raden och det andra kolumnen.

Speciella typer av matriser

Matriser kan ha olika egenskaper och vissa speciella matriser har till och med egna namn.

En kvadratisk matris är en matris som har lika många rader som kolumner. Om matrisen inte är kvadratisk är den rektangulär. Exempel på en kvadratisk matris:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

En nollmatris är en matris som har nollor på alla platser: a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

En enhetsmatris är en kvadratisk matris som har ettor på huvuddiagonalen och nollor överallt annars. Huvuddiagonalen är som en ”diagonal” från vänster till höger. Det är helt enkelt talen på de platser där i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

En trappstegsmatris är en matris som har sina nollrader sist (eller inga nollrader alls) och där varje rad som inte är en nollrad börjar med fler nollor än raden före. Det här är alla trappstegsmatriser:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

Den transponerade matrisen till matrisen A är matrisen A^T, för vilken det gäller att $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , dvs. elementet som stod på rad i och kolumn j hamnar i den transponerade matrisen på rad j och kolumn i. Du byter helt enkelt ut matrisens rader mot kolumner.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

En symmetrisk matris är en kvadratisk matris A som uppfyller likheten A = A^T. Element som ligger symmetriskt kring diagonalen är lika. Vi kan alltså skriva att a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

En antisymmetrisk matris är nästan samma sak som en symmetrisk matris, men elementen på andra sidan har motsatt tecken: A = −A^T. Därför måste elementen på huvuddiagonalen vara noll, eftersom a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

En diagonalmatris är en matris som har nollor överallt utom på huvuddiagonalen. Mer exakt måste det vara nollor överallt annars, medan det på huvuddiagonalen kan stå vad som helst.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Grundläggande räkneoperationer med matriser

Matriser kan vi addera, vi kan multiplicera dem med ett tal och vi kan också multiplicera matriser med varandra.

Addition av matriser är ganska intuitiv. Om matriserna är av samma typ (= lika många kolumner och rader) får den resulterande matrisen på varje plats summan av talen på motsvarande platser i de ursprungliga matriserna. Om vi alltså adderar matriserna A + B = C, gäller a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

Addition av matriser är uppenbarligen kommutativ och associativ: A + B = B + A och A + (B + C) = (A + B) + C.

Multiplikation av en matris med ett tal är också intuitiv. Du tar talet och multiplicerar varje element i matrisen med det, inget mer: k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Matrismultiplikation

Matrismultiplikation är lite krångligare, eftersom den inte är så intuitiv som man kanske väntar sig. Det räcker inte att multiplicera motsvarande element. Först och främst måste matriserna uppfylla kravet att antalet kolumner i den första matrisen är lika med antalet rader i den andra. Resten kan vara godtyckligt. Nu kan vi definiera produkten (n är antalet kolumner i den första matrisen):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Det där säger dig väl inte så mycket? Nu ska jag försöka förklara det även för dem som inte hänger med så snabbt :-). Du tar den första raden i den första matrisen och den första kolumnen i den andra matrisen. Sedan multiplicerar du det första elementet med det första elementet, adderar produkten av det andra elementet med det andra elementet, och så vidare. Så får du elementet c₁₁ i den nya matrisen C. Ett exempel är det allra bästa. Vi multiplicerar de här två matriserna:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Nu väljer vi den första raden i den första matrisen och den första kolumnen i den andra matrisen:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

För överskådlighetens skull kallar vi den nya matrisen C. Om vi vill få fram det första elementet i den matrisen måste vi beräkna c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Observera att raden står först i indexet och kolumnen sedan. När vi sätter in talen får vi 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Det första elementet har värdet 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

Nästa element, c₁₂, får vi på samma sätt, men vi tar den första raden och den andra kolumnen. Med den här långa beräkningen får vi alltid det element som raden och kolumnen har gemensamt. Den första raden och den första kolumnen har ett gemensamt element på plats c₁₁, den första raden och den andra kolumnen på plats c₁₂. Följande figur visar det fint:

Produkt av matriser

Nu multiplicerar jag snabbt ut resten av matrisen:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Dessa tal skriver vi bara in i matrisen:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Vi kan kontrollera att resultatet är rätt till exempel i Excel eller i Calc i OpenOffice, som har funktioner för att räkna med matriser.

Nu några allmänna upplysningar om matrismultiplikation. Först och främst är matrismultiplikation inte kommutativ. I allmänhet gäller inte att A · B = B · A, även om det förstås kan hända i enstaka fall. Däremot är matrismultiplikation associativ. Den är dessutom distributiv över addition: A (B + C) = AB + AC. Om vi multiplicerar två matriser a_ix · b_xn blir den resulterande matrisen av typen i × n (den har lika många rader som den första matrisen och lika många kolumner som den andra).

Exempel

Vi har givet dessa tre matriser:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Beräkna matrisprodukten A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Beräkna matrisprodukten B · A.

Observera att matrismultiplikation inte är kommutativ, så vi kan inte med säkerhet säga att resultatet blir detsamma som i det förra fallet. Vi måste helt enkelt räkna ut allt på nytt:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Beräkna matrisprodukterna A · C och C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

Den andra produkten kan vi inte beräkna, eftersom antalet kolumner i den första matrisen är ett annat än antalet rader i den andra.

Grundläggande matrisoperationer

För att kunna arbeta effektivt med matriser måste vi definiera några elementära operationer. Först och främst kan vi multiplicera en rad eller kolumn i matrisen med ett tal som är skilt från noll. Multiplikationen verkar på samma sätt som k gånger matrisen, men bara i den raden eller kolumnen.

Den andra operationen är att addera k gånger rad j till rad i. Detsamma gäller för kolumner. Det låter lite läskigt, men är i själva verket enkelt. Vi visar det för k = 1. Vi har den här matrisen:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Nu adderar vi rad 2 till rad 1. Vi tar alltså rad 2 och adderar talen på motsvarande platser till talen i rad 1. Talen i rad 2 påverkas inte, det är bara rad 1 som ändras:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Nu kan vi fortsätta med operationerna. Vi provar att addera 2 gånger rad 1 till rad 3. Vi tar rad 1 ur den nya matrisen och multiplicerar den med två, så att vi får raden (10, 14, 18), och adderar de talen till rad 3. Återigen — rad 1 ändras inte, bara rad 3 ändras:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Nu adderar vi till rad 3 summan av rad 1 och rad 2. Det är egentligen ingenting nytt, för om vi först adderar rad 2 till rad 3 och sedan rad 1 måste vi komma fram till samma resultat. Summan av rad 1 och rad 2 är (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Summan av den raden och rad 3 blir sedan (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

Och ytterligare en kolumnoperation (de används i regel inte lika ofta, eftersom de är mindre överskådliga). Vi adderar kolumn 1 till kolumn 2:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Och allra sist multiplicerar vi rad 2 med två:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Linjärt beroende

Nu förklarar vi också vad beroende rader och kolumner är. En rad är linjärt beroende om den kan skrivas som en linjärkombination av matrisens övriga rader. Om du alltså kan addera rader på olika sätt så att du till slut får den sökta raden, är den raden linjärt beroende. Exempel:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Om du tar 2 gånger rad 1 och adderar rad 2 får du rad 3. Om du subtraherar den kombinationen från rad 3 får du en nollrad (en rad som bara innehåller nollor). Den raden är beroende. Vi gör alltså operationerna så här (vi multiplicerar rad 1 med två, adderar den till rad 2 och subtraherar från rad 3):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Om vi har en matris A med n rader och A_i betecknar rad i, säger vi att matrisen inte innehåller någon linjärt beroende rad om:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

om och endast om α₁, α₂, …, α_n = 0. Nollan i högerledet är en nollrad. Det betyder att den enda lösningen till ekvationen är den triviala lösningen. Om vi hittar en annan lösning innehåller matrisen en linjärt beroende rad. På motsvarande sätt för kolumner. För den förra matrisen gäller:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Värdena på alfa är alltså α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Antalet oberoende rader eller kolumner anger matrisens rang.

Regulära och singulära matriser

En matris kallas regulär om den har maximal rang (dvs. om den inte innehåller någon linjärt beroende rad) och dessutom är kvadratisk. En kvadratisk matris kallas singulär om den inte är regulär (dvs. om matrisen innehåller minst en linjärt beroende rad). De här två begreppen är ganska viktiga, eller rättare sagt många definitioner bygger på dem. Mycket är definierat bara om matrisen är regulär.

Relaterade artiklar

« Föregående: Gitter

Nästa: Matrisens rang »