Relationer

En relation är matematikens motsvarighet till det vanliga begreppet ”samband”. I vardagen finns det till exempel ett samband mellan Maja och Elsa, närmare bestämt sambandet ”mor — dotter”. Ett annat sådant samband kan vara ”land — landets huvudstad”. Som exempel kan vi ta Egypten — Kairo.

Fler exempel på relationer

Vi tar fler exempel till hjälp. I inledningen nämnde vi relationerna (sambanden) ”vara mor till sin dotter” och ”vara huvudstad i ett land”. Vi tittar på fler: ”vara ett jämnt tal”. I den relationen finns talen 2, 4, 8, 18, 58, 66 och många fler. Talen 1, 3, −7, 19 står inte i relationen ”vara ett jämnt tal”. En relation från vardagen kan vara ”vara en man”. Oscar, William, Lucas och Hugo står i relationen ”vara en man”.

Ett annat exempel är relationen ”mindre än”. Till exempel är talet tre ”mindre än” talet fem. Matematiskt kan vi skriva det som 3<5. Eller likhetsrelationen: talet tre ”är lika med” talet tre, matematiskt: 3 = 3.

Vi kan också ha mer komplicerade exempel: ”pappa och mamma är föräldrar till barnet”. I den relationen finns tre personer: pappa Daniel, mamma Maria och barnet Alice. I matematiken kan vi hitta på en relation med tre element så här: summan av de två första talen är lika med det tredje talet. Till exempel står dessa tal, i den här ordningen, i relationen: 3, 4, 7, eftersom 3 + 4 = 7. Dessa tal står inte i relationen: 3, 5, 12, eftersom 3 + 5 ≠ 12.

Aritet

Aritet är ett konstigt klingande ord som bara anger hur många element vi har i relationen. I de tidigare exemplen arbetade vi med olika antal element. För relationen ”vara en man” klarade vi oss med ett element, vi kan säga: ”Lucas är en man”. Ett namn, ett element, räcker. En sådan relation kallar vi unär.

I nästa exempel hade vi relationen ”mindre än”. Den arbetade med två tal, två element. Vi sa att talet tre är mindre än fem. Vi använde två element, så relationen är binär.

I det sista exemplet använde vi sammanlagt tre element: summan av två tal skulle vara lika med det tredje. Vi hade alltså talen a, b, c och det skulle gälla att a + b = c. Den relationen är ternär.

För högre aritet kan vi använda beteckningen n-är relation. Men vi kan använda den även för lägre aritet, vi kan skriva en binär relation som en 2-är relation. Relationens element skriver vi sedan som ordnade n-tipler. Om vi har en binär relation skriver vi dem som par, vanligen med parenteser. Om vi vill skriva att talen tre och fem står i relationen ”mindre än” måste vi alltså skriva talen som ett par: (3, 5). Observera att ordningen måste beaktas, åt andra hållet skulle det inte gälla: (3, 5) ≠ (5, 3) — fem är inte mindre än tre.

Ett familjeexempel

Innan vi går in på de matematiska definitionerna prövar vi ett typiskt exempel till med en familj. Vi har dessa familjemedlemmar:

• Max: farfar;
• Johan: pappa;
• Helena: mamma;
• Sandra: dotter;
• Hugo: son.

Först letar vi upp alla familjemedlemmar som uppfyller relationen ”vara en man”. Det är en 1-är, alltså unär, relation. I relationen finns alltså alltid bara ett element, en familjemedlem. Nu måste vi lista alla familjemedlemmar som är av manligt kön. Ordningen spelar ingen roll här. Relationen ”vara en man” innehåller alltså dessa element: {(Max), (Johan), (Hugo)}. Lägg märke till att vi använde parenteser även om det är en unär relation. Det är inte nödvändigt, skrivsättet vore läsbart även utan dem, men för enhetlighetens skull behöll jag parenteserna. Samlingen av alla relationens element är sedan en vanlig mängd, därav klammerparenteserna.

Nu letar vi upp alla relationer ”pappa — son”. Det syns direkt att det är en binär relation, i resultatet kommer ordnade par av element att förekomma. Den resulterande mängden ser ut så här: {(Johan, Hugo), (Max, Johan)}. Pappa Johan är pappa till sonen Hugo och farfar Max är pappa till pappa Johan. Lägg märke till att ordningen verkligen spelar roll, Johan finns med två gånger, men en gång på första platsen som pappa och en gång på andra platsen som son.

Vi prövar en relation till: ”förälder — barn”. Här blir det fler par, eftersom vilken förälder som helst kan stå på första platsen, både pappa och mamma, och vilket barn som helst på andra platsen, både son och dotter. Vi måste också ta hänsyn till att farfar Max är förälder till Johan, men inte till Helena. Johan och Helena är däremot båda föräldrar till Sandra och Hugo. Sandra och Hugo är inte föräldrar till någon, eftersom de bara är nitton och tretton år. I resultatet blir det dessa ordnade par: {(Max, Johan), (Johan, Sandra), (Johan, Hugo), (Helena, Sandra), (Helena, Hugo)}. Lägg märke till att både Johan och Helena finns med två gånger — en gång som föräldrar till dottern Sandra och en gång som föräldrar till Hugo.

En sista fälla när det gäller binära relationer. Vi tar relationen ”syskon — syskon”. Här måste vi komma ihåg att ordningen spelar roll för relationer, så om vi i resultatet bara skrev ”Sandra — Hugo” vore det fel, eftersom det är ett helt annat ordnat par än ”Hugo — Sandra”. Därför är det rätta resultatet: {(Sandra, Hugo), (Hugo, Sandra)}.

Och till sist ett kort exempel på en ternär relation: Skriv alla ordnade tripler i relationen ”farfar — pappa — barn”. I uppgiften har vi bara en farfar och en pappa, men två barn. Det räcker inte att skriva bara tripeln med Sandra eller bara den med Hugo, vi måste skriva upp båda. Det vore något annat om det stod ”son” i stället för ”barn” på slutet. Det rätta resultatet är: {(Max, Johan, Sandra), (Max, Johan, Hugo)}.

Definition av unär relation

Vi undersöker de enklaste relationerna, de unära. Med en unär relation menar vi en mängd av element. Mängden {2, 3} kan representera en relation. Till exempel relationen ”vara ett primtal som är mindre än fem” eller ”vara en icke-trivial delare till talet sex”, beroende på vår tolkning.

De skarpsynta läsarna har lagt märke till att den andra relationen är definierad lite konstigt. Den säger att relationen ska innehålla de icke-triviala delarna till talet sex, och i den resulterande mängden har vi talen 2 och 3. Saknas det inte några? Talen 1 och 6 är triviala delare, dem är vi inte intresserade av. Men de negativa talen, alltså −2 och −3, borde också finnas med. Mängden av alla icke-triviala delare till talet 6 ser ut så här: {−3, −2, 2, 3}.

På samma sätt som vi för funktioner anger en definitionsmängd anger vi för en relation en underliggande mängd — mängden som vi väljer relationens element ur. I de tidigare exemplen angav vi till exempel familjen där farfar Max fanns med och så vidare. Vi valde inte pappor och barn bland alla familjer i världen. Om vi anger de naturliga talen som underliggande mängd är vår relation i ordning.

Nu kan vi gå vidare till definitionen av en relation. Om vi har de naturliga talen som underliggande mängd, vilka element kan vår unära relation innehålla? Återigen bara naturliga tal. Antingen alla eller bara någon del av dem. Vi kan alltså säga att relationen är en delmängd av mängden av de naturliga talen. Mer allmänt gäller, om vi har en unär relation R och en underliggande mängd M, att R ⊆ M, relationen R är en delmängd av mängden M.

Definition av binär relation

Hur blir det för en binär relation? I en binär relation R är elementen ordnade par. Varje element i paret kan komma från en annan mängd. Vi kan ha relationen ”förälder — antal barn”. Föräldern väljs ur mängden av människor, till exempel i Europa, och antalet barn väljs ur mängden av de naturliga talen, noll inräknad.

Hur får vi från två mängder mängden av alla möjliga par? Med den kartesiska produkten. Om vi har mängderna A = {a, b, c}, B = {1, 2} får vi med den kartesiska produkten:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Det är mängden av alla möjliga par som vi kan få genom att ha ett element ur mängden A på första platsen och ett element ur mängden B på andra platsen. Om vi alltså har en binär relation R mellan mängderna A och B kan vi definiera den relationen som R ⊆ A × B.

Om vi behåller de tidigare mängderna A och B och definierar en relation R mellan dem så här: ”bokstav — bokstavens plats i alfabetet” ser relationen ut så här: R = {(a, 1), (b, 2)}. Bokstaven c finns inte med, eftersom paret (c, 3) inte förekommer i den kartesiska produkten A × B.

Definition av n-är relation

Till sist definierar vi en allmän n-är relation R mellan mängderna M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

En relation är alltså en delmängd av ordnade n-tipler. Ett exempel på en binär relation är relationen ”mindre än”, alltså <. Den kan vi definiera mellan några talmängder, till exempel mellan de positiva heltalen. Då ser relationen ut så här:

$$<\subseteq {\mathbb{Z}}^{+}\times {\mathbb{Z}}^{+}$$

(Låt dig inte skrämmas av att tecknet < står så konstigt på vänster sida. Det är bara relationens namn. Där kunde återigen stå R, där R skulle representera relationen mindre än.)

Konkret skulle relationen se ut så här:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Det är mängden av ordnade par sådana att det positiva heltalet på första platsen är mindre än det positiva heltalet på andra platsen.

Hur relationer skrivs

Relationer brukar vi beteckna med stora bokstäver R, S osv. eller med inarbetade symboler: <, ⊆, = osv. Av de tidigare definitionerna framgår att en relation i själva verket är en mängd. Det mesta i matematiken är ju egentligen mängder :-). Därför kan vi, om vi vill säga att ett element r tillhör relationen R, skriva det som r ∈ R.

Till exempel kan vi skriva (1, 3) ∈ < och det betyder att paret av talen ett och tre tillhör relationen mindre än. För binära relationer möter vi ofta ett trevligare skrivsätt som du redan känner till från grundskolan. I stället för att använda elementtecknet ∈ skriver vi helt enkelt 1 < 3. På samma sätt skriver vi vanligen inte (5, 5) ∈ =, utan 5 = 5.