Diskriminant

Diskriminant, genel ikinci dereceden denklemin çözümünü hesaplamamızı, ayrıca denklemin çözümü olup olmadığını ve kaç çözümü bulunduğunu belirlememizi sağlayan bir polinomdur.

Formül ve Temel Bağıntılar

Önce ikinci dereceden denklemin genel biçimini hatırlayalım:

$$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$$

burada a, b, c gerçek sayılardır. Diskriminantı Δ ile gösterelim ve şöyle hesaplayalım:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Örnek: 3x² + 5x − 7 = 0 ikinci dereceden denklemini alalım. Bu denklem için a = 3, b = 5, c = −7 olur. Diskriminantı şöyle hesaplarız:

$$\mathrm{\Delta }=5^2-4\cdot 3\cdot (-7)=25+4\cdot 3\cdot 7=25+84=109$$

Sonuç 109. Bu sayı bize ne söylüyor? Diskriminant…

• pozitif çıkarsa, denklemin iki farklı gerçek kökü vardır,
• sıfır çıkarsa, denklemin iki eşit gerçek kökü vardır,
• negatif çıkarsa, denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur. Ancak karmaşık sayılarda çözümü vardır.

İkinci Dereceden Denklemin Kökleri Nasıl Hesaplanır

Diskriminant yardımıyla ikinci dereceden denklemin köklerini doğrudan hesaplayabiliriz. Kökleri hesaplama formülü şöyledir:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a},$$

burada Δ diskriminanttır. Diskriminantın açık yazıldığı tam formül şöyle görünür:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Bu formülle x² + 7x + 12 = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerini hesaplayalım. Önce diskriminantı hesaplarız:

$$\mathrm{\Delta }=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Diskriminant pozitif çıktı; yani denklemin iki farklı gerçek kökü var. İlk kökü hesaplayalım. İlk kökte diskriminantın karekökünü ekleyeceğiz, ikinci kökte karekökü çıkaracağız:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac{6}{2}=-3.$$

İlk kök −3 çıktı. İkinci kökü karekökü çıkararak hesaplarız:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac{8}{2}=-4.$$

Artık denklemin iki kökü de elimizde: x₁ = −3 ve x₂ = −4.

Bu yöntemi uygulayabilmek için a, b ve c değerlerini doğru belirleyebilmen şarttır. Bunların nasıl belirleneceği, ikinci dereceden denklemlerle ilgili ilk yazıda anlatıldı.

Peki bu çözüm grafikte ne anlama gelir, nasıl görünür? Denklemin sol tarafındaki fonksiyonun grafiğini çizersek, bu ikinci dereceden fonksiyonun grafiğinin x eksenini iki noktada kestiğini görürüz: x₁ = −3 ve x₂ = −4 noktalarında.

Sıfır Diskriminant

Diskriminant sıfır çıkarsa, denklemin çözümü vardır ama yalnızca bir tane; daha doğrusu iki tane vardır, ama ikisi eşittir. Örnek: x² − 10x + 25 = 0 denklemini çöz. Diskriminantı hesaplarız:

$$\mathrm{\Delta }=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0.$$

Kökü önceki bölümdeki gibi formülle hesaplarız. Ama diskriminant sıfır olduğu için formüldeki $\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}$ terimi kaybolur, çünkü sıfırı ekleyip çıkarmış oluruz.

$$x_{1,2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Bir tane çakışık kök çıktı: x = 5. Bu grafikte ne demek? Fonksiyonun grafiği x eksenine yalnızca bir noktada, tepe noktasında dokunur.

Negatif Diskriminant

Diskriminant negatif çıkarsa, ikinci dereceden denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur. Denklemi karmaşık sayılarda çözebiliriz, ama bu bir sonraki yazının konusu. Örnek olarak şu ikinci dereceden denklemi çözmeyi deneyelim: x² + x + 1 = 0. Diskriminant:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

Yani ikinci dereceden denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur. Kendin de deneyebilirsin: x² + x + 1 polinomu her gerçek sayı için pozitiftir. Örneğin x yerine 1 yazarsan 1 + 1 + 1 = 3 elde edersin. x = −1 ise 1 − 1 + 1 = 1 olur. x = 0 ise 0 + 0 + 1 = 1 olur. Diğer sayılar için de böyle devam eder. y = x² + x + 1 fonksiyonunun grafiğine de bakabilirsin; grafik x eksenini hiçbir zaman kesmez.

Vieta Bağıntıları

İkinci dereceden denklemin çözümlerini nasıl hesaplayacağımızı artık biliyoruz. Peki bu çözümler arasındaki ilişki nedir? x₁ ve x₂ çözümlerini toplamayı deneyelim:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

ax² + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerini toplarsak −b/a bölümünü elde ederiz. Kökleri çarparsak ne olur?

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }}-b\cdot \sqrt{\mathrm{\Delta }}-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-\mathrm{\Delta }}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Yani kökleri çarparsak c/a sayısını elde ederiz. İşte bunlar Vieta bağıntılarıdır. Bir kez daha bir arada:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Kesirlerin paydasında her zaman a ifadesinin bulunduğuna dikkat et. Özel bir durum, a = 1 olan ikinci dereceden denklemdir. O zaman Vieta bağıntılarını şöyle yazabiliriz:

$$\begin{array}{r}\text{eğer }a=1:\\ x_1+x_2& =& -b\\ x_1\cdot x_2& =& c\end{array}$$

Bunu ikinci dereceden denklemlerin çözümlerini ararken kullanabiliriz. Diskriminantı zahmetle hesaplamak yerine, yukarıdaki bağıntıları sağlayan x₁ ve x₂ sayılarını bulabilir miyiz diye bakabiliriz. Örnek: x² + 8x + 15 = 0 denkleminin çözümünü bul. a = 1 olduğundan daha basit Vieta bağıntılarını kullanabiliriz. Şu bağıntıları sağlayan x₁ ve x₂ sayılarını arıyoruz:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -8\\ x_1\cdot x_2& =& 15\end{array}$$

Yalnızca tam sayılarla sınırlı kalırsak, çarpımı 15 yapmanın toplam dört yolu vardır:

$$\begin{array}{rcl}1\cdot 15& =& 15\\ 3\cdot 5& =& 15\\ -3\cdot (-5)& =& 15\\ -1\cdot (-15)& =& 15\end{array}$$

Şimdi sol taraftaki sayıların toplamının −8 olması gerekiyor. Bu toplamı yalnızca tek bir çift verir: −3 ve −5. Demek ki bu sayılar ikinci dereceden denklemin çözümüdür. Denklemde yerine yazıp deneyebiliriz; sıfır çıkmalıdır:

$$\begin{array}{rcl}(x=-3):& & (-3{)}^2+8\cdot (-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):& & (-5{)}^2+8\cdot (-5)+15=25-40+15=0\end{array}$$

Uyuyor. Kökleri biliyorsan denklemi daha okunaklı bir biçimde de yazabilirsin. x₁ ve x₂, ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleriyse ve a = 1 ise denklemi şu biçime getirebilirsin:

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Önceki denklemi böylece şöyle yazabiliriz:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$