Dik Üçgen

Dik üçgenin bir iç açısı diktir, yani ölçüsü 90 derecedir. Bu üçgenin, bu yazıda ele alacağımız birkaç ilginç özelliği vardır.

Temel Tanım

Dik üçgen, üçgenler hakkındaki ana yazıda kısmen anlatılmıştı. Dik üçgenin bir iç açısı 90 derecedir. Kalan iki iç açının ölçüsü mutlaka 90 dereceden küçüktür, çünkü aksi halde iç açıların toplamı 180 derece olmazdı. Hatta kalan iki açının toplamı tam 90 derecedir.

Dik üçgenin tabii ki üç kenarı vardır; bunlardan ikisine dik kenar denir (kırmızı kenarlar), bunlar daha kısa kenarlardır; üçüncü kenara ise hipotenüs denir (mavi kenar) — en uzun kenar budur. Hipotenüs her zaman dik açının bulunduğu köşenin karşısındadır.

Pisagor Teoremi

Belki de en ünlü matematik teoremi olan Pisagor teoremi, tam olarak dik üçgende geçerlidir. Pisagor teoremi üçgenin kenar uzunluklarıyla ilgilidir. Teorem şöyle der: “Dik üçgende hipotenüs üzerine kurulan karenin alanı, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanları toplamına eşittir.” Hipotenüsü a kenarı olan üçgenimiz için matematiksel olarak yazılışı:

$$a^2=b^2+c^2$$

Şekilde Pisagor teoremi, bu kez hipotenüsün c olduğu alışılmış gösterimle: Teoremi ayrı bir yazıda ele alıyoruz.

Dik Üçgenin Alanı

Dik üçgende alanı hesaplamak çok kolaydır, çünkü yükseklikler dik kenarlarla çakışır. İlk şekildeki dik üçgeni düşün. Hiçbir yüksekliği bilmeden alanını nasıl hesaplardık? Üçgeni tamamlayarak bir dikdörtgen elde edebiliriz. Dikdörtgenin kenarlarını üçgenin dik kenarları oluşturur, kalan iki kenarı da gerçekten dikdörtgen oluşacak biçimde ekleriz: Dikdörtgenin alanını zaten hesaplayabiliriz; bu, yan yana iki kenarın uzunluklarının çarpımıdır, bizim örneğimizde kırmızı AC ve AB kenarlarının çarpımı. Böylece dikdörtgenin alanını buluruz. Öte yandan BC hipotenüsü, dikdörtgeni ikiye bölen dikdörtgenin köşegenini oluşturur; dolayısıyla dikdörtgenin alanını ikiye bölersek dik üçgenin alanını elde ederiz. Formül şöyle olur:

$$A(ABC)=\frac{b\cdot c}{2},$$

burada b ve c dik kenarların uzunluklarıdır.

Sinüs ve Kosinüs Trigonometrik Fonksiyonları

Dik üçgende temel trigonometrik fonksiyonlar ve aralarındaki bağıntılar geçerlidir. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant gibi trigonometrik fonksiyonlar, dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki oranı ifade eder. Bir kez daha ilk üçgenden yararlanalım; bu kez açılar vurgulanmış:

İki kenarın uzunluklarının oranını bulmak istiyorsak iki uzunluğu alıp verilen sırayla böleriz. Örneğin b:c kenar uzunlukları oranını (“b’nin c’ye oranı” diye okuruz) 3/5 bölümüyle elde ederiz (b kenarının uzunluğu 3, c kenarının uzunluğu 5’tir).

Sinüs fonksiyonu ise iki kenarın oranıyla ve bir açıyla çalışır. Şeklimize göre: b:a oranını alırsak β açısına uygulanan sinüs fonksiyonunun değerini elde ederiz. Kosinüs de benzer biçimde çalışır, yalnızca c:a oranını ve aynı β açısını kullanır. Dolayısıyla:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları dik üçgende her zaman yalnızca 90 dereceden küçük açılarla çalışır. Bu örnekte bunlar β ve γ açılarıdır. Bu aralıkta sinüs ve kosinüs her zaman (0, 1) aralığından bir sayı verir; bu yüzden her zaman kısa kenarı uzun kenara böldüğünü aklında tutabilirsin — tam olarak (0, 1) aralığından bir sayı elde etmek için.

Bu iki fonksiyon aynı anda bir dik kenarla ve hipotenüsle çalışır, asla iki dik kenarla birlikte çalışmaz. Her zaman kısa kenarı uzun kenara böldüğün için hipotenüs hep kesrin paydasında yer alır. Paragrafın üstündeki formüllere bakarsan paydada her zaman a vardır; bu da üçgenin hipotenüsüdür.

Son kural şudur: sinüs karşı dik kenarla, kosinüs ise komşu dik kenarla çalışır. Bu ne demek? β açısı için komşu dik kenar, B köşesinden çıkan dik kenardır, yani c kenarı. Karşı dik kenar ise diğer dik kenardır, yani b kenarı. Bu yüzden formülde sinüsün yanında b kenarı, kosinüsün yanında c kenarı bulunur.

Özet: sinüs karşı dik kenarın hipotenüse oranını, kosinüs komşu dik kenarın hipotenüse oranını verir. Bundan nasıl yararlanabiliriz? Üçgendeki açıları ve hipotenüsün ya da bir dik kenarın uzunluğunu biliyorsan, kalan kenarların uzunluklarını hesaplayabiliriz. Örnek:

Önceki üçgende şunlar geçerlidir:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

a kenarının uzunluğu kaçtır? Şunu biliyoruz:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

Sinüsün değerini biliyoruz, b kenarının uzunluğunu da biliyoruz; a kenarının uzunluğunu arıyoruz. a’yı denk işlemlerle yalnız bırakalım:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Önce denklemi a ile çarptık, sonra denklemi sinüs değerine böldük.) Sağ tarafta artık yalnızca bilinen değerler var, o hâlde yerine yazalım. Sinüsün değerini hesap makinesiyle hesaplarız.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

a kenarının uzunluğu 5,83’tür. Sinüsü hesap makinesinde hesaplarken derece modunun açık olmasına dikkat et. Sık yapılan hata, radyanla hesaplamaktır; radyan farklı bir açı ölçü birimidir. Yine de aralarında şu dönüşüm bağıntısı vardır:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

burada deg değerin derece cinsinden hâlidir.

Tanjant ve Kotanjant Trigonometrik Fonksiyonları

Dik üçgende bu iki fonksiyonu da kolayca kullanabiliriz. Yine her zaman 90 dereceden küçük açılarla çalışırız. Ancak sinüs ve kosinüsten farklı olarak bu fonksiyonlar üçgenin hipotenüsüyle değil, yalnızca dik kenarlarla çalışır. Bir açının tanjantı karşı dik kenarın komşu dik kenara oranına, kotanjantı ise komşu dik kenarın karşı dik kenara oranına eşittir.

Önceki üçgene göre şunlar geçerlidir:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Önceki üçgende β açısından yararlanarak AC kenarının (b kenarının) uzunluğunu hesaplamayı deneyelim. Bu açının ölçüsünü önceki örnekten biliyoruz. Şunu biliyoruz:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

b kenarını yalnız bırakalım:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(Denklemi yalnızca c ile çarptık ve tarafları yer değiştirdik.) Artık b kenarının uzunluğunu hesaplamak için gereken her şeyi biliyoruz. Yerine yazalım:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Şekilden de doğru sonucu bulduğumuzu görüyoruz. Yalnızca yine şuna dikkat et: formüldeki tanjantın içinde derece cinsinden bir değer var, hesap makinesi ise açıyı radyan cinsinden isteyebilir.

Örnek olarak aynı kenarı kotanjant yardımıyla da hesaplayabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

Değerleri yerine yazalım:

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Yine doğru sonucu bulduk.