İkinci Dereceden Denklem

İkinci dereceden denklem, tek bir bilinmeyen içeren ve bu bilinmeyenin karesinin bulunduğu denklemdir. Denklemde bilinmeyen ikiden daha yüksek bir üsle yer alıyorsa, artık ikinci dereceden denklemden söz edemeyiz.

İkinci Dereceden Denklemin Tanımı

İkinci dereceden denklemin genel biçimi şöyledir:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

a, b, c değerleri gerçek sayılardır ve a sıfırdan farklıdır. Diğer adlandırmalar:

• ax² ikinci dereceden terim,
• bx birinci dereceden terim,
• c sabit terim adını alır.

Her ikinci dereceden denklemi denk işlemlerle ya da başka düzenlemelerle genel biçime getirebiliriz. İkinci dereceden denkleme şu denklem örnek olabilir:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Şu denklemin de ikinci dereceden olup olmadığı biraz daha zor bir sorudur:

$$(x+1)\cdot (x+2)=7.$$

Hiçbir yerde x² görünmüyor ve sağ tarafta sıfır yok. Sağ tarafı kolayca hallederiz: 7’yi çıkarırız ve şu biçimi elde ederiz:

$$(x+1)\cdot (x+2)-7=0.$$

Hâlâ x² yok. Parantezleri açarız:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Artık x² var. Terimleri toplayınca sonunda ikinci dereceden denklemin genel biçimini elde ederiz:

$$x^2+3x-5=0.$$

Peki şu örnek ikinci dereceden bir denklem mi? Genel biçime getirilebilir mi?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Cevap: hayır. Kesrin paydasındaki değişkenden kurtulmak için denklemin tamamını x ile çarparsak şunu elde ederiz:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Artık x³ var ve bu, ikinci dereceden bir denklemde bulunamaz.

a, b ve c katsayılarının değerlerine göre ikinci dereceden denklemlerin bazı özel türleri vardır.

Katsayıların Değerleri

Sonraki bölümler için a, b ve c katsayılarını tek tek belirleyebilmen çok önemlidir. Basit bir örnekle başlayalım. 3x² + 4x + 7 = 0 denkleminin katsayılarını bul. Burada iş kolay: a = 3, b = 4 ve c = 7.

Peki ya 3x² − x + 2 = 0 denklemi? a ve c belli: a = 3 ve c = 2. Ama b kaç? b = 1 yazmak hata olur. x’in önünde bir 1 olduğunu düşün: 3x² − 1x + 2 = 0. Şimdi b = −1 olduğu daha kolay görülür.

Bir başka ilginç örnek: x² − 3 = 0. Burada yine b katsayısında sorun çıkabilir; diğerleri açık: a = 1 ve c = −3. b katsayısı kaçtır? Bu denklemde birinci dereceden terim hiç yok; denklemi x² + 0x − 3 = 0 biçiminde yazmakla aynı şey. Yani b = 0.

Daha karmaşık bir örnek:

$$5x^2+3x+\pi \cdot x=0$$

Bu denklemde iki tuzak var. Sabit terim yok, yani c = 0. İkinci dereceden terim belli, a = 5. Peki şu sinsi b kaç? Denklemi biraz düzenleyebiliriz: iki ifadeden x değişkenini ortak çarpan parantezine alırız:

$$5x^2+(3+\pi )x=0$$

b katsayısı yine değişken x’in “önündeki” ifadedir; yani parantezin tamamı b = (3 + π) değerine eşittir. Benzer bir denklem:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

İlk iki katsayı açık: a = −1 ve b = 4. Sabit terim kaçtır? x içermeyen geri kalan ifadelerdir. Yani $c=1-\sqrt{2}$. Kökten korkma, ısırmaz; sıradan bir sayıdır.

Peki şu denklemin değerleri kaçtır? (x + 1)(x + 2) = −2x. Önce denklemi genel biçime getirmemiz gerekir. Parantezleri açarız:

$$x^2+3x+2=-2x$$

ve sağ tarafın sıfır olması için denkleme 2x ekleriz:

$$x^2+5x+2=0.$$

Değerler artık açık: a = 1, b = 5, c = 2.

Birinci Dereceden Terimi Olmayan Eksik Denklem

b = 0 ise eksik ikinci dereceden denklem söz konusudur ve bu denklem birinci dereceden denkleme benzer biçimde çözülür. Bu denklemin genel biçimi şöyledir:

$$a{x}^2+c=0$$

b = 0 olduğundan birinci dereceden bx terimi denklemden tümüyle düşer, çünkü 0x = 0. Denklemi çözmek için önce sabit terimi çıkarırız; yani denklemden c değerini çıkarırız. Böylece şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}a{x}^2+c& =& 0/-c\\ a{x}^2& =& -c\end{array}$$

Sonra denklemi a sayısına böleriz. Şu biçim çıkar:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

Son olarak denklemin her iki tarafının karekökünü alırız. Burada sağ taraftaki kesrin negatif olmaması gerekir, çünkü negatif sayının (gerçek sayılarda) karekökü alınamaz. Sonuç:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

İki sonuç elde ettiğimize dikkat et: biri pozitif, diğeri negatif. Bu, bir örnekte daha iyi görülür. Şu denklemi çözelim:

$$2x^2-8=0.$$

Adımlara göre önce c terimini çıkarırız. Dikkat: bu örnekte c negatif, yani negatif bir sayıyı çıkarıyoruz; bu da pozitif bir sayıyı eklemek demektir. Denklemin her iki tarafına +8 ekleriz (amaç 8’i sağ tarafa geçirmek). Şu biçim çıkar:

$$2x^2=8$$

Sonra adımlara göre denklemi a sayısına, yani 2’ye böleriz. Bölünce şunu elde ederiz:

$$x^2=4$$

Şimdi karekök alırız.

$$x_1=2,x_2=-2$$

Neden eksi 2 de var? Çünkü eksi 2 ile eksi 2’nin çarpımı 4’tür. Grafikten de bakabiliriz: 2x² − 8 fonksiyonunun grafiği x eksenini tam olarak x₁ = −2 ve x₂ = 2 noktalarında keser.

Şu denklemi çöz:

$$80x^2-5=0.$$

Denkleme 5 ekleriz:

$$80x^2=5$$

80’e böleriz:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Kesri sadeleştiririz:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Karekök alırız:

$$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{4}$$

Sabit Terimi Olmayan Eksik Denklem

İkinci dereceden denklemin bir başka özel durumu, c sabit teriminin sıfıra eşit olduğu durumdur. Denklemin genel biçimi şöyledir:

$$a{x}^2+bx=0$$

Bu tür denklem bilinmeyeni ortak çarpan parantezine alarak çözülür:

$$x(ax+b)=0.$$

Burada sonuç oldukça açık görünüyor. Yine denklemin iki kökü çıkar, ama bunlardan biri her zaman sıfırdır. Çünkü sol tarafın tamamı iki ifadenin çarpımı biçimindedir: x ve (ax + b) parantezi. Bu çarpım ne zaman sıfırdır? Bu ifadelerden en az biri sıfır olduğunda. Yani sol taraf iki durumda sıfırdır:

$$x=0\text{veya}ax+b=0.$$

Denklemin ilk sonucu böylece hazır: sıfır. Diğerini ax + b = 0 birinci dereceden denklemini çözerek buluruz. Birinci dereceden denklemlerle ilgili yazıdan bu denklemin tam olarak bir çözümü olduğunu biliyoruz:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Böylece ax² + bx = 0 ikinci dereceden denkleminin sonucunu yazabiliriz:

$$x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}.$$

Örnek:

$$6x^2+3x=0$$

x’i ortak çarpan parantezine alırız:

$$x(6x+3)=0$$

İlk çözüm x = 0. İkinci çözümü 6x + 3 = 0 birinci dereceden denklemini çözerek buluruz:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.$$

Sonucu yazarız:

$$x_1=0,x_2=-\frac{1}{2}.$$

Yine fonksiyonun grafiğine bakabiliriz; grafik x eksenini tam olarak bu noktalarda keser:

Diğer Çözüm Yöntemleri

Bunlar, ikinci dereceden denklemlerin özel türleri için temel tekniklerdi. Genel ikinci dereceden denklem diskriminant yardımıyla çözülür. Diğer denklem türleri arasında parametreli ikinci dereceden denklem de vardır.

Hesap Makinesi

Genel denklem ax² + bx + c = 0 için a, b ve c katsayılarını gir; hesap makinesi diskriminantı ve kökleri hesaplar. Hesap makinesini ayrı bir sayfa olarak da bulabilirsin: ikinci dereceden denklem hesap makinesi.