Birleşme Özelliği

Birleşme özelliği, örneğin toplama ya da çarpma gibi işlemlerin bir özelliğidir. Toplamanın şu iki yazılışına bir bak:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

İfadeler sadece parantezin yerinde farklıdır. Peki sonuçlar farklı mı? Her iki ifade de aynı sonuca götürür, toplam her zaman 6’ya eşittir. Parantezlerin yerinin sonuca etkisi yoksa işlemin birleşmeli olduğunu söyleriz. Daha kesin yazarsak, a ∘ b işlemi şu sağlanıyorsa birleşmelidir:

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Birleşmeli olan bir başka işlem çarpmadır, çünkü şu geçerlidir:

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Birleşmeli Olmayan İşlemler

Çıkarma birleşmeli değildir. Örnek olarak (10 − 4) − 3 ifadesini alalım. Önce parantezdeki farkı hesaplarız ve 6 − 3 buluruz, bu da 3’e eşittir. Ama 10 − (4 − 3) ifadesini hesaplamayı denersek yine önce parantezin içini hesaplarız ve 10 − 1 elde ederiz, bu da 9’dur. Yani çıkarma işlemi birleşmeli değildir.

Benzer şekilde bölme işlemi de birleşmeli değildir. Örnek olarak (64 / 4) / 2 ifadesini alalım. Önce parantezi hesaplarız ve 16/2 buluruz, bu da 8’dir. Ama parantezi başka bir yere koyarsak 64 / (4 / 2) elde ederiz ve parantezi hesapladıktan sonra 64 / 2 olur, bu da 32’dir. Yani bölme işlemi birleşmeli değildir.

Birleşmeli olmayan bir başka tipik işlem de üs almadır:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Birleşme Özelliği Tek Bir İşlemle İlgilidir!

Dikkat et, birleşme özelliği her zaman tek bir işlemle ilgilidir. Üç sayılı bir ifadede işlemler aynı değilse birleşme kuralını uygulayamayız. Örnek olarak:

$$(1+2)\cdot 3$$

ifadesi iki işlem içerir — toplama ve çarpma. Her iki işlem de kendi başına birleşmelidir, ama yine de şu anda birleşme kuralını uygulayamayız, ifadeyi şuna çeviremeyiz:

$$1+(2\cdot 3)$$

çünkü ifade iki farklı işlem içerir. Birleşme kuralını uygulayabilmemiz için iki işlemin de toplama ya da ikisinin de çarpma olması gerekirdi.

Kesişim ve Birleşim

Kümelerin kesişimi birleşmelidir. Örnek olarak:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

ifadesini önce paranteze aldığımız kümelerin kesişimini hesaplayarak şuna dönüştürürdük:

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

Bu kümelerin kesişimi de {1}’e eşittir. Parantezlerin yerini değiştirseydik şunu elde ederdik:

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

ve parantezi sadeleştirdikten sonra:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

Ve yine {1} elde ederdik. Parantezlerin yerinin önemli olmadığını görüyoruz, bu yüzden kümelerin kesişimi birleşmelidir. Kümelerin birleşimi de benzer şekilde birleşmeli olurdu.

Sözcükleri Birleştirme

Sözcük parçaları için bir toplama işlemimiz olduğunu ve bunun basitçe sözcükleri birleştirmek anlamına geldiğini düşün. Yani “kitap” + “lık” sözcüğü “kitaplık” sözcüğüne eşit olurdu. Böyle bir işlem birleşmeli olurdu. Örneğin (“bil” + “gi”) + “sayar” yazsaydık, önce paranteze alınanları toplayarak “bilgi” + “sayar” elde ederdik, bu da bize “bilgisayar” sözcüğünü verirdi. Parantezlerin yerini değiştirip “bil” + (“gi” + “sayar”) yazsaydık, parantezin içini toplayınca “bil” + “gisayar” elde ederdik, bu da yine bize “bilgisayar” sözcüğünü verirdi.

Maksimum ya da Minimum Birleşmelidir

İki sayıdan büyük olanı veren a ∨ b işlemini düşünelim. Böyle bir işlem birleşmeli olurdu. Örneğin (5 ∨ 10) ∨ 7 ifadesini 10 ∨ 7’ye dönüştürürdük ve bu 10’a eşit olurdu. On, bu üç sayının en büyüğüdür. Parantezleri yeniden yerleştirseydik 5 ∨ (10 ∨ 7) elde ederdik, sadeleştirince 5 ∨ 10, bu da yine 10’dur.

Minimum da tamamen aynı şekilde davranırdı.