Matriser

En matrise over en kropp P er en avbildning {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. En matrise betegnes vanligvis med store bokstaver: A = (…). Og nå på vanlig norsk.

Grunnleggende begreper

En matrise er rett og slett en slags tabell med n kolonner og m rader, der betegnelsen for rader og kolonner ikke alltid er den samme, så vær oppmerksom på det. I hver celle i tabellen står det så et tall eller et annet uttrykk. En matrise trenger ikke være bare tall, selv om du i begynnelsen sannsynligvis ikke kommer til å møte andre matriser. Slik kan en matrise for eksempel se ut:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Denne matrisen har to rader og tre kolonner. Elementene i matrisen skrives med indekser, og i stedet for en stor bokstav brukes en liten bokstav: a₁₁ = 0 eller a₂₃ = 51. Den første indeksen angir raden og den andre indeksen kolonnen.

Spesielle typer matriser

Matriser kan ha ulike egenskaper, og noen spesielle matriser har til og med egne navn.

Kvadratisk matrise er en matrise som har like mange rader som kolonner. Hvis matrisen ikke er kvadratisk, er den rektangulær. Eksempel på en kvadratisk matrise:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

Nullmatrise er en matrise som har nuller på alle plasser. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Identitetsmatrise er en kvadratisk matrise som har enere på hoveddiagonalen og nuller alle andre steder. Hoveddiagonalen er den «diagonalen» som går fra øverste venstre hjørne ned mot høyre. Det er rett og slett tallene på koordinatene der i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Matrise på trappeform er en matrise som har nullrader til slutt (eller ingen nullrader), og der hver rad som ikke er null, begynner med flere nuller enn raden før. Disse er alle matriser på trappeform:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

Transponert matrise til matrisen A er matrisen A^T der $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , altså slik at elementet som sto i i-te rad og j-te kolonne, kommer til å stå i j-te rad og i-te kolonne i den transponerte matrisen. Rett og slett bytter du rader i matrisen med kolonner.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Symmetrisk matrise er en kvadratisk matrise A som oppfyller likheten A = A^T. Elementer som ligger symmetrisk om diagonalen, er like. Vi kan altså skrive at a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Skjevsymmetrisk matrise er nesten det samme som en symmetrisk matrise, bare at elementene på den andre siden har motsatt fortegn: A = −A^T. Derfor må elementene på hoveddiagonalen være null, for a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Diagonalmatrise er en matrise som har nuller overalt unntatt på hoveddiagonalen. Mer presist må det være nuller alle andre steder, og hva som står på hoveddiagonalen, er ikke bestemt.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Grunnleggende operasjoner med matriser

Matriser kan vi addere, vi kan multiplisere dem med et tall, og vi kan også multiplisere matriser med hverandre.

Addisjon av matriser er ganske intuitiv. Hvis matrisene er av samme type (= like mange kolonner og rader), får den resulterende matrisen på samme plasser summene av tallene på de tilsvarende plassene i de foregående matrisene. Eller hvis vi adderer matriser A + B = C, gjelder a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

Addisjon av matriser er åpenbart kommutativ og assosiativ. A + B = B + A og A + (B + C) = (A + B) + C.

Multiplikasjon av en matrise med et tall er også intuitiv. Du tar tallet og multipliserer hvert element i matrisen med det, ikke noe mer. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Multiplikasjon av matriser

Multiplikasjon av matriser er allerede litt verre, for den er ikke intuitiv slik man skulle vente. Det er ikke nok å multiplisere tilsvarende ledd. Først og fremst må matrisene oppfylle kriteriet at antall kolonner i den første matrisen må være det samme som antall rader i den andre matrisen. Resten kan være vilkårlig. Nå kan vi definere produktet (n er antall kolonner i den første matrisen):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Det forsto du sikkert, ikke sant? Nå prøver jeg å forklare det også for de litt mindre kjappe :-). Du tar den første raden i den første matrisen og den første kolonnen i den andre matrisen. Nå multipliserer du det første elementet med det første elementet og legger til produktet av det andre elementet med det andre elementet og legger til og så videre. Slik får du elementet c₁₁ i den nye matrisen C. Aller best blir det med et eksempel. Vi multipliserer disse to matrisene:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Nå velger vi den første raden i den første matrisen og den første kolonnen i den andre matrisen:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

For å gjøre notasjonen oversiktlig kaller vi den nye matrisen C. Hvis vi vil ha det første elementet i denne matrisen, må vi regne ut dette: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Merk at den første plassen i indeksen er raden, deretter kolonnen. Etter innsetting får vi: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Det første elementet har verdien 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

Det neste elementet, c₁₂, får vi på samme måte, bare at vi tar den første raden og den andre kolonnen. Med denne langdryge utregningen får vi alltid det elementet som de har felles. Den første raden og den første kolonnen har felles elementet på koordinatene c₁₁, den første raden og den andre kolonnen har på sin side c₁₂. Det vises fint på følgende bilde:

Produkt av matriser

Nå multipliserer jeg raskt ut resten av matrisen:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Disse tallene skriver vi så bare inn i matrisen:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Vi kan kontrollere at resultatet er riktig for eksempel i Excel eller i OpenOffice Calc, som har funksjoner for å jobbe med matriser.

Nå noen generelle opplysninger om multiplikasjon av matriser. Først og fremst er ikke multiplikasjon av matriser kommutativ. Generelt gjelder det ikke at A · B = B · A, selv om et slikt tilfelle selvfølgelig kan oppstå. Men multiplikasjon av matriser er assosiativ. Sammen med addisjon er den til og med distributiv: A (B + C) = AB + AC. Hvis vi multipliserer to matriser a_ix · b_xn, blir den resulterende matrisen av typen i × n (den får like mange rader som den første matrisen har rader og like mange kolonner som den andre matrisen har kolonner).

Eksempler

Vi har disse tre matrisene:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Regn ut produktet av matrisene A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Regn ut produktet av matrisene B · A.

Vær oppmerksom på at multiplikasjon av matriser ikke er kommutativ, så vi kan absolutt ikke med sikkerhet si at resultatet blir det samme som i forrige tilfelle. Vi må rett og slett regne alt ut på nytt:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Regn ut produktet av matrisene A · C og C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

Det andre eksempelet kan vi ikke regne ut, fordi antall kolonner i den første matrisen er et annet enn antall rader i den andre matrisen.

Elementære radoperasjoner

For å kunne jobbe effektivt med matriser må vi definere noen elementære matriseoperasjoner. Først og fremst kan vi multiplisere en rad/kolonne i matrisen med et tall som er forskjellig fra null. Multiplikasjonen virker på samme måte som multiplikasjon av hele matrisen med k, men bare i den aktuelle raden/kolonnen.

Den andre operasjonen er å legge k ganger den j-te raden til den i-te raden. Det samme for kolonner. Det høres litt skremmende ut, men det er faktisk enkelt. Vi viser det for k = 1. Vi har denne matrisen:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Nå legger vi den andre raden til den første raden. Vi tar altså den andre raden og legger tallene på tilsvarende plasser til tallene fra den første raden. Tallene fra den andre raden forblir uforandret, bare den første raden endres:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Nå kan vi fortsette med operasjonene. Nå prøver vi å legge to ganger den første raden til den tredje raden. Vi henter den første raden ut av denne nylig dannede matrisen, multipliserer den med to, slik at vi får raden (10, 14, 18), og legger disse tallene til den tredje raden. Igjen — den første raden endres ikke, bare den tredje raden endres:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Nå legger vi igjen summen av den første og den andre raden til den tredje raden. I bunn og grunn er dette ikke noe nytt, for hvis vi først legger den andre raden til den tredje raden og så den første raden, må vi komme til det samme resultatet. Summen av den første og den andre raden blir lik: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Summen av denne raden og den tredje raden blir så lik: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

Og enda en kolonneoperasjon (disse brukes vanligvis ikke så ofte, fordi de ikke er så oversiktlige). Vi legger den første kolonnen til den andre kolonnen:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Og helt til slutt multipliserer vi den andre raden med to:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Lineær avhengighet

Nå skal vi også forklare hva avhengige rader/kolonner er. En rad er lineært avhengig hvis denne raden kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av de andre radene i matrisen. Rett og slett: hvis du klarer å addere rader på ulike måter slik at du til slutt får den raden du leter etter, er denne raden lineært avhengig. Eksempel:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Hvis du tar to ganger den første raden og den andre raden, får du den tredje raden. Hvis du trekker denne kombinasjonen fra den tredje raden, får du en nullrad (en rad som bare inneholder nuller). Denne raden er avhengig. Operasjonene gjør vi altså slik (vi multipliserer den første raden med to, legger den til den andre raden, trekker den fra den tredje raden):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Hvis vi har en matrise A som har n rader og A_i betegner den i-te raden, sier vi at matrisen ikke inneholder noen lineært avhengig rad hvis:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

hvis og bare hvis α₁, α₂, …, α_n = 0. Nullen på høyre side av likningen representerer en nullrad. Altså hvis den eneste løsningen av denne likningen er nulløsningen. Hvis vi finner en annen løsning, inneholder matrisen en lineært avhengig rad. Tilsvarende for kolonner. For den foregående matrisen ville det gjelde:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Altså er verdiene av alfa α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Antallet uavhengige rader eller kolonner angis av rangen til matrisen.

Regulære og singulære matriser

En matrise kalles regulær hvis den har maksimal rang (altså hvis det ikke forekommer noen lineært avhengig rad i den) og hvis den er en kvadratisk matrise. En kvadratisk matrise kalles singulær hvis den ikke er regulær (altså hvis matrisen inneholder minst én lineært avhengig rad). Disse to begrepene er ganske viktige, eller rettere sagt, mange definisjoner bygger på dem. Mange ting er bare definert hvis matrisen er regulær.

Relaterte artikler

« Forrige: Gitter

Neste: Rangen til en matrise »