Median

Medianen delar, enkelt uttryckt, en mängd av värden så att hälften av värdena är mindre än medianen och den andra hälften större än medianen. I verkligheten är det lite mer komplicerat, och det ska vi titta på nu.

Vad är medianen

För medianen spelar det roll om antalet element i populationen är jämnt eller udda. När antalet element i populationen är udda får vi medianen genom att ordna alla värden från minsta till största, och värdet som står exakt i mitten är medianen.

Som exempel tar vi mängden av talen 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. De är sju stycken, vilket är ett udda tal. Vi ordnar talen och får talföljden 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Medianen, som vi betecknar Me, är elementet som står i mitten, alltså talet 3. Den allmänna formeln för en population X av storleken |X| = N, vars element x_i är ordnade från minsta till största, skulle alltså vara:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Om vi provar den för vår mängd av värden X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] får vi:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

För ett jämnt antal element måste vi göra en liten ändring, eftersom en jämn talföljd av värden inte har något ”element i mitten”. Om vi tar bort en tvåa ur vår population får vi populationen Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], och den har inget mittenelement. Båda talen 3 och 4 står ”lika mycket i mitten”. I det här fallet tar man båda elementen som står i mitten, och medianen är deras aritmetiska medelvärde. Medianen av värdena Y skulle alltså vara (3 + 4)/2 = 3,5.

Den allmänna formeln för värden X av storleken N med ordnade element x_i skulle se ut så här:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Om vi på det här sättet beräknar medianen av värdena Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], där vi betecknar elementen y_i, får vi:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Fördelar med medianen

Medianen har, till skillnad från medelvärdet, inga problem om det finns några kraftigt avvikande värden i mängden. I exemplet ovan med mängden X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] skulle vi få medelvärdet 92 / 7 ≈ 13,1429, vilket är ett lite konstigt värde när sex av sju element är mycket mindre. Medianen är då det rimliga talet tre.

Medianen kan dessutom användas för alla värden som på något sätt går att ordna. Medelvärde kan vi bara beräkna för värden som vi kan addera och sedan dividera. Vi kan till exempel ta klädstorlekar: där finns oftast någon följd av typen XS, S, M, L, XL, XXL. Det vore svårt att beräkna ett medelvärde av sådana värden, eftersom det inte är klart hur vi ska addera XS + L eller XL + L, och det är inte heller klart hur vi i slutändan skulle dividera. Men om en population har köpt kläder i storlekarna S, S, M, L, L, L, XXL kan vi säga att medianen är storleken L. Problem kan uppstå när vi har ett jämnt antal storlekar, eftersom vi då inte kan beräkna något aritmetiskt medelvärde. I det här fallet väljer man oftast helt enkelt ett av de två mittersta värdena som median.