Mediana

La mediana, detta in modo semplice, divide un insieme di valori in modo che metà dei valori sia minore della mediana e l’altra metà maggiore. Nella realtà è un po’ più complicato e ora vediamo come.

Che cos’è la mediana

Per la mediana conta se il numero di elementi della popolazione è pari o dispari. Quando il numero di elementi della popolazione è dispari, otteniamo la mediana ordinando tutti i valori dal più piccolo al più grande, e il valore che sta esattamente al centro sarà la mediana.

Come esempio prendiamo l’insieme di numeri 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Sono 7 in tutto, che è un numero dispari. Ordiniamo i numeri e otteniamo la successione 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. La mediana, che indichiamo con Me, sarà l’elemento che sta al centro, cioè il numero 3. La formula generale per una popolazione X di dimensione |X| = N, i cui elementi sono x_i e sono ordinati dal più piccolo al più grande, sarebbe quindi:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Se la proviamo per il nostro insieme di valori X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], otteniamo:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Per un numero pari di elementi dobbiamo fare una piccola modifica, perché una successione pari di valori non ha un «elemento centrale». Se dalla nostra popolazione togliamo un 2, otteniamo la popolazione Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], che non ha alcun elemento centrale. Entrambi i numeri 3 e 4 sono «ugualmente al centro». In questo caso si procede prendendo i due elementi che stanno così al centro, e la mediana sarà la loro media aritmetica. La mediana dei valori Y sarebbe quindi il valore (3 + 4)/2 = 3,5.

La formula generale per i valori X di dimensione N con elementi ordinati x_i sarebbe la seguente:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Se calcoliamo così la mediana dei valori Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], dove indichiamo gli elementi con y_i, otteniamo:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Vantaggi della mediana

La mediana, a differenza della media, non soffre di problemi se nell’insieme di valori ci sono dei valori estremi. Nell’esempio visto sopra, con l’insieme X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], otterremmo una media 92 / 7 ≈ 13,1429, che è un valore un po’ strano, dato che sei elementi su sette sono molto più piccoli. La mediana è invece un numero ragionevole: tre.

La mediana si può inoltre usare per tutti i valori che si possono in qualche modo ordinare. La media si può fare solo per i valori che sappiamo sommare e poi dividere. Possiamo prendere ad esempio la taglia dei vestiti: lì c’è di solito una successione del tipo XS, S, M, L, XL, XXL. Difficilmente potremmo fare la media di questi valori, perché non è chiaro come sommare XS + L oppure XL + L e non è chiaro nemmeno come dividere alla fine il risultato. Tuttavia, se una popolazione ha comprato vestiti S, S, M, L, L, L, XXL, possiamo dire che la mediana è la taglia L. Il problema può sorgere quando abbiamo un numero pari di taglie, perché allora non possiamo fare la media aritmetica. In questo caso di solito scegliamo semplicemente uno dei due valori centrali come mediana.