Diziler

Dizi, tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan bir fonksiyondur. Dizi sonsuz olabilir; bu durumda tanım kümesi pozitif tam sayıların tamamıdır. Dizi sonlu da olabilir; bu durumda tanım kümesi pozitif tam sayıların yalnızca sonlu bir alt kümesidir. Dizinin sonlu olduğu açıkça söylenmediyse, dizinin sonsuz olduğu varsayılır.

Dizinin Tanımı

Bu bölüm dizi tanımının anlamını biraz açıklar. Bilmek şart değildir, istersen bölümün tamamını atlayabilirsin.

Girişte dizinin, tanım kümesi pozitif tam sayılar olan bir fonksiyon olduğunu zaten söyledik. Görüntü kümesi herhangi bir küme olabilir, ama biz burada gerçek sayılar kümesini varsayacağız. Bunun anlamı ne? En görünür fark fonksiyonun grafiğinde ortaya çıkar: grafik, sıradan fonksiyonlarda alışık olduğumuz sürekli bir çizgi olmaz, dizinin yalnızca dağınık, tek tek yalıtılmış noktalarından oluşur.

Dizi örneğin 1, 3, 5, 7, 9, 11, … sayı sırası olabilir. Bu dizi oldukça açıktır ve nasıl devam ettiği herkes için belli olmalıdır. Dizi bir fonksiyon olduğu için, eşleme tablosu şöyle görünür:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Birinci sütundaki sayılar (tanım kümesinin değerleri), ilgili sayının dizideki sırasını gösterir. Örneğin basit dizimizde beş sayısı üçüncü sıradadır. Tablo da bunu tam olarak söylüyor. Dizide dördüncü sırada yedi, birinci sırada bir vardır ve böyle devam eder. Buradan şu da çıkar: sonlu bir p dizisinin tanım kümesi şu biçimde bir küme olmalıdır:

$$\{1,2,3,\dots ,n\},$$

böylece gerçekten bir sıra söz konusu olur ve hiçbir sıra atlanmaz. Örneğin şu küme

$$\{1,2,3,5,7\}$$

bir dizinin tanım kümesi olamaz, çünkü dördüncü ve altıncı elemanı eksiktir.

Diziyi belirleyen şey, terimlerinin bir şekilde sıralanabilmesidir: ilk ve son terim dışında her terimin bir önceki ve bir sonraki terimi vardır. Bu, böyle bir şeyin geçerli olmadığı gerçek fonksiyonlardan çok büyük bir farktır. f(x) = 2x fonksiyonunu alırsak, f(5/2)’den sonra hangi değer gelir? Bilmiyoruz; sonuç bir gerçek sayıdır ve gerçek sayıların bir sonraki elemanı yoktur.

Dizinin Gösterimi

Dizinin — biraz basitleştirirsek — numaralandırılmış bir sayı sırası olduğunu artık biliyoruz. Şimdi diziyi nasıl yazabileceğimize bakalım. Diziyi genellikle alt indisli küçük bir harfle adlandırırız, örneğin a_i.

Birinci yol, dizinin tüm değerlerini sıralamaktır. Bununla önceki bölümde zaten karşılaştık. Sıralama sonlu da olabilir, sonsuz da:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Not: Diziler için genellikle hangi parantezlerin kullanıldığından emin değilim, ortak bir gösterim bulamadım. Küme parantezi kullanmazdım, çünkü onlar elemanlarının sırası önemli olmayan kümeleri gösterir; dizilerde ise terimlerin sırası önemlidir.

İkinci yol, dizinin n. terimi için bir formüldür. Örneğin yukarıdaki a_n dizisi tüm çift sayıları içeriyordu. Bunu şu formülle ifade edebiliriz:

$$a_n=2n.$$

Alt indis n, dizinin kaçıncı terimini hesapladığımızı belirler. Yani birinci terimi bilmek istiyorsak a₁’i, yedinciyi istiyorsak a₇’yi ararız. Yedinci terimi, kurala yerine koyarak hesaplarız.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Bu gösterim kullanışlıdır, çünkü dizinin herhangi bir terimini hemen hesaplamayı sağlar. Bir başka yol, özyinelemeli tanım ile yazmaktır. Özyinelemeli tanım, mevcut terimi biliyorsak bir sonraki terimi hesaplamamıza izin verir. Yani a_n terimini biliyorsak, a_{n + 1} terimini hesaplayabiliriz.

Diziyi özyinelemeli olarak vermek istiyorsak iki bilgi vermemiz gerekir: ilk terimin ne olduğu ve (n + 1). terimi hesaplama kuralı. Çift sayılar dizisini özyinelemeli olarak vermek istersek şöyle yapabiliriz:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Şimdi nasıl hesaplanır? a₁’in ikiye eşit olduğunu biliyoruz. Şimdi n yerine bir koyarız ve böylece a₂’yi, a₁’e iki ekleyerek buluruz. Sonuç dört, yani ikinci çift sayı. Ve böyle devam eder.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Özyinelemeli tanım, dizinin daha büyük bir kısmını üretmemiz gerektiğinde işe yarar. Buna karşılık belirli bir terimi hesaplamak istediğimizde uygun değildir, çünkü yüzüncü çift sayıyı bulmak için önce ondan önce gelen 99 çift sayının hepsini hesaplamamız gerekir.

Son yol, diziyi grafikle vermektir.

Bir şeyi daha netleştirelim: dizinin mutlaka basit bir kuralı olması, “makul” bir sayı sırası olması gerekmez. İlk bakışta hiçbir derin anlamı olmasa da şu sayı sırası da bir dizidir:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Dizinin Grafiği

Dizilerin grafikleri sıradan gerçek fonksiyonlarınkinden farklıdır. Tanım kümeleri pozitif tam sayılar olduğu için grafikleri yalıtılmış noktalardan oluşur.

Aritmetik Dizi

Aritmetik dizi, terimleri arasında sabit bir fark olan basit bir dizidir. Her sonraki terim örneğin üç fazladır ya da on yedi azdır. Dizinin terimlerinin birbirinden ne kadar farklı olduğunu gösteren bu farka ortak fark denir (d ile gösteririz). İlk durumda ortak fark üç, ikincisinde eksi on yedi, çift sayılar dizisinde ise iki olurdu. Aritmetik dizi formülle şöyle yazılabilir:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Aritmetik dizinin n. terimini hesaplamak için genel formül şudur:

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Örnek olarak yine çift sayıları alalım: ortak fark iki ve ilk çift sayı da ikidir. Bu durumda ikinci çift sayıyı, birinciye iki ekleyerek elde ederiz. Bir kez daha iki eklersek üçüncü çift sayıyı buluruz.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Diyelim ki yedinci çift sayıyı hesaplamak istiyoruz; genel formülde şöyle yerine koyarız:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Verilen dizinin aritmetik olup olmadığını nasıl anlarız? (n + 1). terimin formülünden n. terimin formülünü çıkarırız; ortak fark elde edersek dizi aritmetiktir. Örneğin şu diziyi alalım:

$$a_n=2n+7.$$

Bu dizi aritmetik mi? Önce (n + 1). terimi yazalım:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Şimdi bu iki ifadeyi birbirinden çıkaralım:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Çıkarma sonunda d = 2 bulduğumuzu görüyoruz; yani bu, ortak farkı iki olan bir aritmetik dizidir.

Aritmetik Dizinin Terimlerinin Toplamı

Çoğu zaman bir aritmetik dizinin ilk birkaç teriminin toplamını bulmamız gerekir. Bunu nasıl yapardık? Sezgisel olarak herhalde şöyle. Çift sayılarla devam edelim. İlk üç çift sayının toplamı kaçtır? Yani 2, 4 ve 6 sayılarının? Elbette sırayla toplayabiliriz, ama bunu istemiyoruz, formül istiyoruz.

Diziyi şöyle değiştirelim: ilk terime iki ekleyelim, son terimden ise iki çıkaralım. 4, 4, 4 elde ederiz. Üç tane aynı sayımız olduğunu görüyoruz, dolayısıyla dörtle terim sayısını, yani üçü çarpmak yeter. Yani 4 · 3 = 12.

Beş terimde şöyle görünürdü: 2, 4, 6, 8, 10. Uçlardaki terimlere dört ekleyip çıkarırız, uçlara komşu terimlere ise iki.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Yine yalnızca 6 · 5 = 30 çarpımını bulmak yeter. Ne görüyoruz? Her seferinde dizinin terim sayısını ortadaki terimle çarpıyoruz. 2, 4, 6 dizisinde ortada dört, 2, 4, 6, 8, 10 dizisinde ortada 6 vardı. Ortadaki terimi genel olarak nasıl hesaplarız (p ile gösterelim)? Dizinin ilk ve son teriminin ortalaması olarak hesaplarız, yani

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Örneğin ikinci dizide

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

a_n dizisinin ilk n teriminin toplamı için elde ettiğimiz formül şöyle olurdu:

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

Formül, terim sayısı çift olduğunda da geçerlidir; oysa formülü türetirken yalnızca tek sayıda terim kullandık.

Ortak Fark Nasıl Hesaplanır

Dizinin iki terimini biliyorsak ortak farkı nasıl hesaplarız? Yine çift sayılarla devam edelim. Dizinin şu iki terimini bildiğimizi varsayalım:

$$a_3=6,a_7=14.$$

Ortak farkı nasıl buluruz? Önce bu iki terim arasındaki farkı hesaplarız:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Şimdi bu sonucu, bildiğimiz iki terim arasındaki adım sayısına, yani indislerinin farkına bölmek yeter:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Ortak fark ikidir. Dizinin a_k ve a_l terimlerini biliyorsak, ortak fark d’yi hesaplamak için elde ettiğimiz formül şudur:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Aritmetik dizinin grafiği sabit bir artış ya da sabit bir azalış gösterir — grafikteki yalıtılmış noktalar bir doğru üzerinde yer alır.

Geometrik Dizi

Geometrik dizi, önceki aritmetik diziden şunda ayrılır: iki komşu terimin farkı değil, oranı sabittir. Bu orana aritmetik dizideki gibi ortak fark denmez, ortak oran denir (r ile gösteririz). Örneğin r = 10 ve ilk terimi 5 olan bir dizimiz olabilir:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Genel olarak şu formül geçerlidir:

$$a_{n+1}=a_n\cdot r$$

Geometrik dizinin genel terimi için formül şöyle olurdu:

$$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$$

Örneğin önceki dizinin üçüncü terimini şöyle hesaplardık:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot r^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot r^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

Geometrik dizileri, ortak oranlarına göre iki gruba daha ayırabiliriz. Ortak oranın mutlak değeri birden küçükse, dizinin tamamı sıfıra yaklaşır. Böyle bir diziye yakınsak dizi denir. Buna karşılık ortak oranın mutlak değeri en az bir ise, dizi sıfıra yaklaşmaz ve ona ıraksak dizi denir. Yakınsak dizi için serinin tamamının toplamına ilişkin basit bir formül geçerlidir (yalnızca yakınsak dizi için geçerlidir, çünkü ıraksak dizinin sonlu bir toplamı yoktur):

$$S_a=\frac{a_1}{1-r}.$$

a_n geometrik dizisinin ilk i teriminin toplamını hesaplamak için formül:

$$S_i=a_1\cdot \frac{r^i-1}{r-1}$$

Formülün nasıl türetildiğini Vikipedi’de okuyabilirsin.

Ortak oranı bir ya da sıfır olan durum dışında, geometrik dizinin grafiği bir doğru üzerinde yer almayan yalıtılmış noktalar kümesidir. Geometrik dizinin tipik grafiği şöyle görünür:

Ortak oran negatifse, grafiğin iki kolu olur: