Mediana

A mediana, em termos simples, divide um conjunto de valores de modo que metade dos valores seja menor que a mediana e a outra metade seja maior que a mediana. Na realidade é um pouco mais complicado, e é isso que vamos ver agora.

O que é a mediana

No caso da mediana, importa se o número de elementos da população é par ou ímpar. Quando o número de elementos da população é ímpar, obtemos a mediana ordenando todos os valores do menor para o maior, e o valor que fica exatamente no meio será a mediana.

Como exemplo, vamos pegar o conjunto de números 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. São 7 no total, que é um número ímpar. Ordenamos os números e obtemos a sequência 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. A mediana, que vamos representar por Me, será o elemento que está no meio, que é o número 3. A fórmula geral para uma população X de tamanho |X| = N, cujos elementos são x_i e estão ordenados do menor para o maior, seria:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Se aplicarmos isso ao nosso conjunto de valores X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], obteremos:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Para uma quantidade par de elementos, precisamos fazer um pequeno ajuste, porque uma sequência par de valores não tem “elemento do meio”. Se tirarmos um dos números 2 da nossa população, obtemos a população Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], que não tem nenhum elemento central. Os dois números, 3 e 4, estão “igualmente no meio”. Nesse caso, a solução é pegar os dois elementos que ficam no meio, e a mediana será a média aritmética deles. A mediana dos valores de Y seria, portanto, (3 + 4)/2 = 3,5.

A fórmula geral para valores X de tamanho N com elementos ordenados x_i seria assim:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Se calcularmos dessa forma a mediana dos valores Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], em que representamos os elementos por y_i, obteremos:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Vantagens da mediana

A mediana, ao contrário da média, não sofre problemas quando há alguns valores extremos no conjunto. No exemplo acima, com o conjunto X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], obteríamos a média 92 / 7 ≈ 13,1429, um valor meio estranho, já que seis dos sete elementos são bem menores. Já a mediana é três, um número razoável.

Além disso, a mediana pode ser usada para todos os valores que podem ser ordenados de algum modo. Só podemos calcular a média para valores que conseguimos somar e depois dividir. Podemos pegar, por exemplo, o tamanho de roupas: ali costuma haver uma sequência do tipo PP, P, M, G, GG, XGG. Seria difícil calcular a média desses valores, porque não está claro como somar PP + G ou GG + G, e também não está claro como dividiríamos o resultado no fim. No entanto, se uma população comprou roupas P, P, M, G, G, G, XGG, podemos dizer que a mediana é o tamanho G. O problema pode surgir quando temos uma quantidade par de tamanhos, pois então não podemos calcular a média aritmética. Nesse caso, normalmente escolhemos simplesmente um dos dois valores do meio como mediana.