Medián

A medián leegyszerűsítve úgy osztja ketté az értékek egy halmazát, hogy az értékek fele kisebb a mediánnál, a másik fele pedig nagyobb nála. A valóságban ez kicsit bonyolultabb, és ezt most megnézzük.

Mi az a medián

A mediánnál számít, hogy a sokaság elemeinek száma páros vagy páratlan. Ha a sokaság elemeinek száma páratlan, a mediánt úgy kapjuk meg, hogy az összes értéket növekvő sorrendbe rendezzük, és az az érték, amely pontosan középen áll, a medián.

Példának vegyük a 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1 számok halmazát. Összesen 7 van belőlük, ami páratlan szám. A számokat sorba rendezzük, így megkapjuk az 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75 sorozatot. A mediánt, amelyet Me-vel jelölünk, a középen álló elem adja, ami a 3. Az |X| = N méretű X sokaságra, amelynek elemei x_i, és a legkisebbtől a legnagyobbig rendezettek, az általános képlet tehát:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Ha ezt kipróbáljuk az X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] értékhalmazunkra, akkor ezt kapjuk:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Páros számú elem esetén egy kis módosítást kell tennünk, mert a páros hosszúságú értéksornak nincs „középső eleme”. Ha a sokaságunkból elveszünk egy kettest, megkapjuk az Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75] sokaságot, amelynek nincs középső eleme. A 3 és a 4 is „egyformán középen van”. Ilyenkor vesszük mindkét elemet, amely így középen áll, és a medián a számtani közepük lesz. Az Y értékeinek mediánja tehát a (3 + 4)/2 = 3,5 érték.

Az N méretű, rendezett, x_i elemű X értékekre az általános képlet így nézne ki:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Ha így számítjuk ki az Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75] értékek mediánját, ahol az elemeket y_i-vel jelöljük, ezt kapjuk:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

A medián előnyei

A medián az átlaggal ellentétben nem szenved attól, ha az értékhalmazban vannak szélsőségek. A fent említett példában az X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] halmazzal az átlag 92 / 7 ≈ 13,1429 lenne, ami elég furcsa érték, ha a hétből hat elem sokkal kisebb. A medián viszont egy észszerű szám, a három.

A mediánt továbbá minden olyan értékre használhatjuk, amelyet valamilyen módon rendezni lehet. Átlagot csak olyan értékeknél tudunk számolni, amelyeket össze tudunk adni, majd el tudunk osztani. Vehetjük például a ruhaméretet: ott általában XS, S, M, L, XL, XXL jellegű sorozat van. Az ilyen értékekből nehezen csinálnánk átlagot, mert nem egyértelmű, hogyan adjuk össze az XS + L vagy az XL + L értékeket, és az sem, hogyan osztanánk el a végén. Ha viszont egy sokaság S, S, M, L, L, L, XXL méretű ruhát vásárolt, akkor azt mondhatjuk, hogy a medián az L méret. Gond akkor lehet, ha páros számú méretünk van, mert akkor nem tudunk számtani közepet képezni. Ilyenkor általában egyszerűen kiválasztjuk a két középső érték egyikét mediánnak.