Median

Vereinfacht gesagt teilt der Median eine Menge von Werten so, dass die eine Hälfte der Werte kleiner und die andere Hälfte größer als der Median ist. In der Realität ist es etwas komplizierter, und das schauen wir uns jetzt an.

Was ist der Median

Beim Median spielt es eine Rolle, ob die Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit gerade oder ungerade ist. Ist die Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit ungerade, erhalten wir den Median, indem wir alle Werte vom kleinsten zum größten ordnen; der Wert, der genau in der Mitte steht, ist der Median.

Als Beispiel nehmen wir die Zahlen 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Es sind insgesamt 7, also eine ungerade Zahl. Wir ordnen die Zahlen und erhalten die Folge 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Der Median, den wir mit Me bezeichnen, ist das Element in der Mitte, also die Zahl 3. Die allgemeine Formel für eine Grundgesamtheit X der Größe |X| = N, deren Elemente x_i vom kleinsten zum größten geordnet sind, wäre also:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Wenn wir es für unsere Menge von Werten X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] versuchen, erhalten wir:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Bei einer geraden Anzahl von Elementen müssen wir eine kleine Anpassung vornehmen, denn eine Folge von Werten gerader Länge hat kein „Element in der Mitte“. Nehmen wir aus unserer Grundgesamtheit eine Zwei weg, erhalten wir die Grundgesamtheit Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], und die hat kein mittleres Element. Beide Zahlen 3 und 4 stehen „gleichermaßen in der Mitte“. In diesem Fall nimmt man beide Elemente, die so in der Mitte stehen, und der Median ist ihr arithmetisches Mittel. Der Median der Werte Y wäre also der Wert (3 + 4)/2 = 3,5.

Die allgemeine Formel für Werte X der Größe N mit geordneten Elementen x_i würde so aussehen:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Berechnen wir auf diese Weise den Median der Werte Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], wobei wir die Elemente mit y_i bezeichnen, erhalten wir:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Vorteile des Medians

Der Median hat, anders als der Mittelwert, keine Probleme, wenn in der Menge von Werten Extremwerte vorkommen. Bei der oben erwähnten Menge X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] hätten wir den Mittelwert 92 / 7 ≈ 13,1429 erhalten, was ein ziemlich seltsamer Wert ist, wenn sechs von sieben Elementen weit kleiner sind. Der Median ist dann die vernünftige Zahl drei.

Den Median kann man außerdem für alle Werte verwenden, die sich irgendwie ordnen lassen. Den Mittelwert können wir nur bei Werten bilden, die wir addieren und anschließend dividieren können. Nehmen wir zum Beispiel die Kleidergröße: Dort gibt es meist eine Reihe wie XS, S, M, L, XL, XXL. Aus solchen Werten könnten wir kaum einen Mittelwert bilden, denn es ist nicht klar festgelegt, wie man XS + L oder XL + L addiert, und es ist auch nicht klar, wie wir es am Ende dividieren würden. Wenn aber eine Grundgesamtheit die Kleidung S, S, M, L, L, L, XXL gekauft hat, können wir sagen, dass der Median die Größe L ist. Ein Problem kann auftreten, wenn wir eine gerade Anzahl von Größen haben, denn dann können wir kein arithmetisches Mittel bilden. In diesem Fall wählen wir üblicherweise einfach einen der beiden mittleren Werte als Median.