Mediana

La mediana, dicho de forma sencilla, divide un conjunto de valores de modo que la mitad de los valores sea menor que la mediana y la otra mitad mayor. En realidad es algo más complicado y es lo que vamos a ver ahora.

Qué es la mediana

En la mediana influye que el número de elementos de la población sea par o impar. Cuando el número de elementos de la población es impar, obtenemos la mediana ordenando todos los valores de menor a mayor, y el valor que queda exactamente en el centro será la mediana.

Como ejemplo tomamos el conjunto de números 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Hay 7 en total, que es un número impar. Ordenamos los números y obtenemos la sucesión 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. La mediana, que denotaremos Me, será el elemento que está en el centro, es decir, el número 3. La fórmula general para una población X de tamaño |X| = N, cuyos elementos x_i están ordenados de menor a mayor, sería:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Si lo probamos con nuestro conjunto de valores X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], obtendríamos:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Para un número par de elementos tenemos que hacer un pequeño ajuste, porque una sucesión par de valores no tiene un «elemento central». Si a nuestra población le quitamos un dos, obtenemos la población Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], que no tiene ningún elemento central. Los dos números 3 y 4 están «igual de en el centro». En este caso se resuelve tomando los dos elementos que están así en el centro, y la mediana será su media aritmética. La mediana de los valores de Y sería, pues, el valor (3 + 4)/2 = 3,5.

La fórmula general para los valores X de tamaño N con elementos ordenados x_i sería esta:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Si calculamos así la mediana de los valores Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], donde denotamos los elementos y_i, obtenemos:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Ventajas de la mediana

La mediana, a diferencia de la media, no tiene problemas si en el conjunto de valores hay algunos valores extremos. En el ejemplo mencionado, con el conjunto X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], obtendríamos una media 92 / 7 ≈ 13,1429, que es un valor un poco raro cuando seis de los siete elementos son mucho menores. La mediana es entonces un número razonable: tres.

La mediana se puede usar, además, para todos los valores que se pueden de algún modo ordenar. La media solo podemos calcularla con valores que sepamos sumar y después dividir. Podemos tomar, por ejemplo, la talla de ropa: suele haber una sucesión del tipo XS, S, M, L, XL, XXL. Difícilmente podríamos hacer la media de esos valores, porque no está claro cómo sumar XS + L o XL + L, y tampoco está claro cómo lo dividiríamos al final. Sin embargo, si una población compró ropa S, S, M, L, L, L, XXL, podemos decir que la mediana es la talla L. El problema puede surgir cuando tenemos un número par de tallas, porque entonces no podemos hacer la media aritmética. En ese caso normalmente elegimos sin más uno de los dos valores centrales como mediana.