Median

Enkelt sagt deler medianen et sett med verdier slik at halvparten av verdiene er mindre enn medianen og den andre halvparten er større enn medianen. I virkeligheten er det litt mer komplisert, og det skal vi se på nå.

Hva er medianen

For medianen spiller det en rolle om antall elementer i populasjonen er et partall eller et oddetall. Når antall elementer i populasjonen er et oddetall, finner vi medianen ved å ordne alle verdiene fra den minste til den største, og verdien som står akkurat i midten er medianen.

Som eksempel tar vi tallene 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Det er sju av dem, og det er et oddetall. Vi ordner tallene og får tallfølgen 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Medianen, som vi betegner Me, er elementet som står i midten, altså tallet 3. Den generelle formelen for en populasjon X med størrelse |X| = N, der elementene x_i er ordnet fra den minste til den største, ville derfor vært:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Hvis vi prøver den på settet vårt X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], får vi:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

For et partall av elementer må vi gjøre en liten justering, fordi en tallfølge med et partall av verdier ikke har noe «element i midten». Hvis vi tar bort én toer fra populasjonen vår, får vi populasjonen Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], og den har ikke noe midterste element. Både tallet 3 og tallet 4 står «like mye i midten». I dette tilfellet tar vi begge elementene som står slik i midten, og medianen er det aritmetiske gjennomsnittet av dem. Medianen til verdiene Y er derfor (3 + 4)/2 = 3,5.

Den generelle formelen for verdiene X med størrelse N og ordnede elementer x_i ser slik ut:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Hvis vi regner ut medianen til verdiene Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75] på denne måten, der vi betegner elementene y_i, får vi:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Fordeler med medianen

I motsetning til gjennomsnittet har ikke medianen problemer hvis det finnes ekstremverdier i settet med verdier. I eksemplet ovenfor med settet X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] ville vi fått gjennomsnittet 92 / 7 ≈ 13,1429, og det er en ganske merkelig verdi når seks av de sju elementene er langt mindre. Medianen er da det fornuftige tallet tre.

Medianen kan dessuten brukes for alle verdier som vi på en eller annen måte kan ordne. Gjennomsnittet kan vi bare regne ut for verdier som vi kan legge sammen og deretter dele. Vi kan for eksempel ta klesstørrelser: der har vi gjerne en rekkefølge som XS, S, M, L, XL, XXL. Det er vanskelig å regne ut et gjennomsnitt av slike verdier, for det er ikke klart hvordan vi skal legge sammen XS + L eller XL + L, og det er heller ikke klart hvordan vi til slutt skulle dele. Men hvis en populasjon har kjøpt klær i størrelsene S, S, M, L, L, L, XXL, kan vi si at medianen er størrelse L. Det kan oppstå et problem når vi har et partall av størrelser, for da kan vi ikke ta det aritmetiske gjennomsnittet. I så fall velger vi som regel bare ett av de to midterste tallene som median.