Médiane

La médiane, pour le dire simplement, partage une série de valeurs de sorte que la moitié des valeurs soit inférieure à la médiane et l’autre moitié supérieure. Dans la réalité, c’est un peu plus compliqué, et c’est ce que nous allons voir maintenant.

Qu’est-ce que la médiane

Pour la médiane, il importe de savoir si le nombre d’éléments de la population est pair ou impair. Lorsque le nombre d’éléments de la population est impair, on obtient la médiane en rangeant toutes les valeurs de la plus petite à la plus grande : la valeur qui se trouve exactement au milieu est la médiane.

Prenons comme exemple la série de nombres 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Il y en a 7 en tout, ce qui est un nombre impair. On range les nombres, ce qui donne la liste ordonnée 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. La médiane, que nous notons Me, est l’élément du milieu, c’est-à-dire le nombre 3. La formule générale pour une population X de taille |X| = N, dont les éléments sont les x_i rangés du plus petit au plus grand, serait donc :

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Si on l’essaie pour notre série de valeurs X = (1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 75), on obtient :

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Pour un nombre pair d’éléments, il faut faire une petite modification, car une série de valeurs de longueur paire n’a pas « d’élément du milieu ». Si on retire un 2 de notre population, on obtient la population Y = (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 75), qui n’a aucun élément central. Les deux nombres 3 et 4 sont « aussi bien au milieu » l’un que l’autre. Dans ce cas, on prend les deux éléments qui se trouvent ainsi au milieu, et la médiane est leur moyenne arithmétique. La médiane des valeurs de Y serait donc (3 + 4)/2 = 3,5.

La formule générale pour des valeurs X de taille N aux éléments rangés x_i serait la suivante :

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Si l’on calcule ainsi la médiane des valeurs Y = (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 75), dont on note les éléments y_i, on obtient :

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Avantages de la médiane

La médiane, contrairement à la moyenne, ne pose pas de problème lorsque la série de valeurs contient des valeurs extrêmes. Dans l’exemple ci-dessus, avec la série X = (1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 75), on obtiendrait une moyenne 92 / 7 ≈ 13,1429, ce qui est une valeur un peu bizarre quand six éléments sur sept sont bien plus petits. La médiane, elle, vaut 3, un nombre raisonnable.

On peut en outre utiliser la médiane pour toutes les valeurs que l’on peut d’une façon ou d’une autre ordonner. On ne peut calculer la moyenne que pour des valeurs que l’on sait additionner puis diviser. Prenons par exemple les tailles de vêtements : on a en général une suite du type XS, S, M, L, XL, XXL. On voit mal comment faire une moyenne de telles valeurs, car on ne sait pas clairement comment additionner XS + L ou XL + L, et on ne voit pas non plus comment on diviserait le résultat. En revanche, si une population a acheté des vêtements S, S, M, L, L, L, XXL, on peut dire que la médiane est la taille L. Un problème peut apparaître quand on a un nombre pair de tailles, car on ne peut alors pas faire de moyenne arithmétique. Dans ce cas, on choisit généralement simplement l’une des deux valeurs centrales comme médiane.