Mediaani

Mediaani jakaa arvojoukon yksinkertaisesti sanottuna niin, että puolet arvoista on mediaania pienempiä ja puolet mediaania suurempia. Todellisuudessa asia on hieman monimutkaisempi, ja tarkastelemme sitä nyt.

Mikä on mediaani

Mediaanin kohdalla on merkitystä sillä, onko perusjoukon alkioiden lukumäärä parillinen vai pariton. Jos alkioiden lukumäärä on pariton, saamme mediaanin asettamalla kaikki arvot järjestykseen pienimmästä suurimpaan, ja täsmälleen keskellä oleva arvo on mediaani.

Otetaan esimerkiksi lukujen joukko 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Lukuja on yhteensä 7, mikä on pariton luku. Järjestämme luvut, jolloin saamme lukujonon 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Mediaani, jota merkitsemme Md, on keskellä oleva alkio eli luku 3. Yleinen kaava perusjoukolle X, jonka koko on |X| = N ja jonka alkiot x_i on järjestetty pienimmästä suurimpaan, olisi siis:

$$\text{Md}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Jos kokeilemme sitä arvojoukkoomme X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], saamme:

$$\text{Md}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Parillisella määrällä alkioita on tehtävä pieni muutos, koska parillisessa arvojonossa ei ole ”keskimmäistä alkiota”. Kun poistamme perusjoukostamme yhden kakkosen, saamme joukon Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], jolla ei ole yhtään keskimmäistä alkiota. Molemmat luvut 3 ja 4 ovat ”yhtä lailla keskellä”. Tässä tapauksessa otetaan nämä kaksi keskellä olevaa alkiota ja mediaaniksi tulee niiden aritmeettinen keskiarvo. Joukon Y mediaani olisi siis (3 + 4)/2 = 3,5.

Yleinen kaava arvoille X, joiden koko on N ja joiden alkiot x_i on järjestetty, olisi tämä:

$$\text{Md}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Jos lasketaan näin joukon Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75] mediaani, kun alkioita merkitään y_i, saadaan:

$$\text{Md}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Mediaanin edut

Toisin kuin keskiarvo, mediaani ei kärsi ongelmista, jos arvojoukossa on äärimmäisiä arvoja. Edellä mainitussa esimerkissä, jossa X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], keskiarvoksi saisimme 92 / 7 ≈ 13,1429, mikä on hieman outo arvo, kun kuusi seitsemästä alkiosta on paljon pienempiä. Mediaani on sen sijaan järkevä luku kolme.

Mediaania voi lisäksi käyttää kaikille arvoille, jotka voi jollakin tavalla asettaa järjestykseen. Keskiarvon voi laskea vain arvoille, jotka pystymme laskemaan yhteen ja sen jälkeen jakamaan. Otetaan esimerkiksi vaatekoko: siinä on yleensä jokin jono kuten XS, S, M, L, XL, XXL. Tällaisista arvoista on vaikea laskea keskiarvoa, koska ei ole selvää, miten lasketaan yhteen XS + L tai XL + L, eikä myöskään ole selvää, miten tulos lopuksi jaettaisiin. Jos kuitenkin jokin perusjoukko on ostanut vaatteet S, S, M, L, L, L, XXL, voimme sanoa, että mediaani on koko L. Ongelma voi tulla vastaan, kun kokoja on parillinen määrä, koska silloin emme voi laskea aritmeettista keskiarvoa. Tässä tapauksessa valitaan yleensä yksinkertaisesti toinen kahdesta keskimmäisestä arvosta mediaaniksi.