Median

Medianen deler, kort sagt, et observationssæt, så halvdelen af værdierne er mindre end medianen og den anden halvdel af værdierne er større end medianen. I virkeligheden er det lidt mere kompliceret, og det ser vi nu på.

Hvad er median

For medianen har det betydning, om antallet af elementer i populationen er lige eller ulige. Hvis antallet af elementer i populationen er ulige, får vi medianen ved at ordne alle værdierne fra den mindste til den største, og værdien, der står præcis i midten, er medianen.

Som eksempel tager vi sættet af tal 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Der er 7 af dem i alt, hvilket er et ulige tal. Vi ordner tallene, og får dermed talfølgen 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Medianen, som vi betegner m, er det element, der står i midten, altså tallet 3. Den generelle formel for en population X af størrelse |X| = N, hvis elementer er x_i og er ordnet fra det mindste til det største, ville således være:

$$m(X)=x_{(N+1)/2}$$

Hvis vi prøver det for vores sæt af værdier X = (1, 2, 2, 3, 4, 5, 75), får vi:

$$m(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

For et lige antal elementer skal vi lave en lille justering, for en lige talfølge har ikke noget »element i midten«. Når vi fjerner én toer fra vores population, får vi populationen: Y = (1, 2, 3, 4, 5, 75), og den har intet midterste element. Begge tallene 3 og 4 står »lige i midten«. I dette tilfælde løser man det ved at tage begge de elementer, der står sådan i midten, og medianen er så deres aritmetiske gennemsnit. Medianen af værdierne Y ville således være værdien (3 + 4)/2 = 3,5.

Den generelle formel for værdierne X af størrelse N med ordnede elementer x_i ville se sådan ud:

$$m(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Hvis vi på denne måde beregner medianen af værdierne Y = (1, 2, 3, 4, 5, 75), hvor vi betegner elementerne y_i, får vi:

$$m(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Medianens fordele

Medianen har i modsætning til gennemsnittet ikke problemer, hvis der er nogle ekstremer i sættet af værdier. I eksemplet ovenfor med sættet X = (1, 2, 2, 3, 4, 5, 75) ville vi få gennemsnittet 92 / 7 ≈ 13,1429, hvilket er en lidt mærkelig værdi, når seks af de syv elementer er langt mindre. Medianen er så det fornuftige tal tre.

Medianen kan desuden bruges for alle værdier, som på en eller anden måde kan ordnes. Gennemsnittet kan vi kun beregne for værdier, som vi kan lægge sammen og derefter dividere. Vi kan for eksempel tage tøjstørrelser: der er som regel en rækkefølge af typen XS, S, M, L, XL, XXL. Af sådanne værdier ville vi have svært ved at lave et gennemsnit, for det er ikke klart, hvordan man lægger XS + L eller XL + L sammen, og det er heller ikke klart, hvordan vi til sidst ville dividere. Men hvis en population har købt tøj i størrelserne S, S, M, L, L, L, XXL, kan vi sige, at medianen er størrelsen L. Et problem kan opstå, når vi har et lige antal størrelser, for så kan vi ikke tage et aritmetisk gennemsnit. I dette tilfælde vælger vi som regel bare et af de to midterste tal som median.