Mediaan

De mediaan verdeelt een gegevensverzameling, eenvoudig gezegd, zo dat de helft van de waarden kleiner is dan de mediaan en de andere helft van de waarden groter. In werkelijkheid is het iets ingewikkelder en daar kijken we nu naar.

Wat is de mediaan

Bij de mediaan speelt het een rol of het aantal elementen van de populatie even of oneven is. Is het aantal elementen van de populatie oneven, dan vinden we de mediaan door alle waarden van klein naar groot te ordenen. De waarde die precies in het midden staat, is dan de mediaan.

Als voorbeeld nemen we de getallen 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Dat zijn er in totaal 7, een oneven aantal. We ordenen de getallen en krijgen zo de rij 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. De mediaan, die we Me noemen, is het element dat in het midden staat, dus het getal 3. De algemene formule voor een populatie X van grootte |X| = N, waarvan de elementen x_i van klein naar groot geordend zijn, is dan:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Als we dit proberen voor onze gegevensverzameling X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], krijgen we:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Bij een even aantal elementen moeten we een kleine aanpassing maken, want een even aantal waarden heeft geen “element in het midden”. Als we uit onze populatie een van de twee tweeën weghalen, krijgen we de populatie Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75] en die heeft geen middelste element. De getallen 3 en 4 staan allebei “even erg in het midden”. In dat geval nemen we beide elementen die zo in het midden staan en is de mediaan hun rekenkundig gemiddelde. De mediaan van de waarden Y zou dus (3 + 4)/2 = 3,5 zijn.

De algemene formule voor waarden X van grootte N met geordende elementen x_i ziet er dan zo uit:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Als we op deze manier de mediaan berekenen van de waarden Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], waarvan we de elementen y_i noemen, krijgen we:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Voordelen van de mediaan

De mediaan heeft, anders dan het gemiddelde, geen last van problemen als er uitschieters in de gegevensverzameling zitten. In het voorbeeld hierboven met de gegevensverzameling X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] zouden we het gemiddelde 92 / 7 ≈ 13,1429 krijgen, wat een vreemde waarde is, terwijl zes van de zeven elementen veel kleiner zijn. De mediaan is dan het redelijke getal drie.

De mediaan kunnen we verder gebruiken voor alle waarden die we op de een of andere manier kunnen ordenen. Het gemiddelde kunnen we alleen nemen van waarden die we kunnen optellen en vervolgens delen. Neem bijvoorbeeld kledingmaten: daar hebben we meestal een rij als XS, S, M, L, XL, XXL. Van zulke waarden kunnen we moeilijk een gemiddelde maken, want het is niet duidelijk hoe je XS + L of XL + L optelt, en het is ook niet duidelijk hoe we het uiteindelijk zouden delen. Maar als een populatie kleding heeft gekocht in de maten S, S, M, L, L, L, XXL, dan kunnen we zeggen dat de mediaan maat L is. Een probleem kan ontstaan als we een even aantal maten hebben, want dan kunnen we geen rekenkundig gemiddelde nemen. In dat geval kiezen we meestal gewoon een van de twee middelste waarden als mediaan.