Διάμεσος

Η διάμεσος, απλουστευμένα, χωρίζει ένα σύνολο τιμών έτσι ώστε οι μισές τιμές να είναι μικρότερες από τη διάμεσο και οι άλλες μισές μεγαλύτερες από τη διάμεσο. Στην πραγματικότητα είναι λίγο πιο περίπλοκο και θα το δούμε τώρα.

Τι είναι η διάμεσος

Στη διάμεσο παίζει ρόλο αν το πλήθος των στοιχείων του πληθυσμού είναι άρτιο ή περιττό. Όταν το πλήθος των στοιχείων του πληθυσμού είναι περιττό, τη διάμεσο τη βρίσκουμε ως εξής: ταξινομούμε όλες τις τιμές από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη και η τιμή που βρίσκεται ακριβώς στη μέση θα είναι η διάμεσος.

Για παράδειγμα, παίρνουμε το σύνολο αριθμών 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Είναι συνολικά 7, που είναι περιττός αριθμός. Ταξινομούμε τους αριθμούς και παίρνουμε την ακολουθία 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Διάμεσος, που τη συμβολίζουμε δ, θα είναι το στοιχείο που βρίσκεται στη μέση, δηλαδή ο αριθμός 3. Ο γενικός τύπος για πληθυσμό X μεγέθους |X| = N, του οποίου τα στοιχεία είναι x_i και είναι ταξινομημένα από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, θα ήταν:

$$\delta (X)=x_{(N+1)/2}$$

Αν το δοκιμάσουμε για το δικό μας σύνολο τιμών X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], θα πάρουμε:

$$\delta (X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Για άρτιο πλήθος στοιχείων πρέπει να κάνουμε μια μικρή προσαρμογή, επειδή μια ακολουθία με άρτιο πλήθος τιμών δεν έχει «στοιχείο στη μέση». Όταν από τον πληθυσμό μας αφαιρέσουμε ένα δυάρι, παίρνουμε τον πληθυσμό: Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75] και αυτός δεν έχει κανένα μεσαίο στοιχείο. Και οι δύο αριθμοί 3 και 4 βρίσκονται «εξίσου στη μέση». Στην περίπτωση αυτή το λύνουμε παίρνοντας και τα δύο στοιχεία που βρίσκονται έτσι στη μέση και διάμεσος θα είναι ο αριθμητικός τους μέσος. Διάμεσος των τιμών Y θα ήταν λοιπόν η τιμή (3 + 4)/2 = 3,5.

Ο γενικός τύπος για τις τιμές X μεγέθους N με ταξινομημένα στοιχεία x_i θα έμοιαζε ως εξής:

$$\delta (X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Αν υπολογίσουμε έτσι τη διάμεσο των τιμών Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], όπου τα στοιχεία τα συμβολίζουμε y_i, παίρνουμε:

$$\delta (Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Πλεονεκτήματα της διαμέσου

Η διάμεσος, σε αντίθεση με τη μέση τιμή, δεν έχει προβλήματα όταν στο σύνολο τιμών υπάρχουν κάποιες ακραίες τιμές. Στο παραπάνω παράδειγμα με το σύνολο X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] θα παίρναμε μέση τιμή 92 / 7 ≈ 13,1429, που είναι μια κάπως περίεργη τιμή, αφού έξι από τα εφτά στοιχεία είναι πολύ μικρότερα. Διάμεσος είναι τότε ο λογικός αριθμός τρία.

Τη διάμεσο μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για όλες τις τιμές που μπορούν με κάποιον τρόπο να διαταχθούν. Μέση τιμή μπορούμε να υπολογίσουμε μόνο για τιμές που μπορούμε να τις προσθέσουμε και στη συνέχεια να τις διαιρέσουμε. Μπορούμε να πάρουμε για παράδειγμα το μέγεθος των ρούχων: εκεί υπάρχει συνήθως μια ακολουθία της μορφής XS, S, M, L, XL, XXL. Δύσκολα θα υπολογίζαμε μέση τιμή από τέτοιες τιμές, επειδή δεν είναι σαφές πώς προσθέτουμε XS + L ή XL + L και δεν είναι ούτε σαφές πώς θα το διαιρούσαμε στο τέλος. Ωστόσο, αν ένας πληθυσμός αγόρασε ρούχα S, S, M, L, L, L, XXL, μπορούμε να πούμε ότι διάμεσος είναι το μέγεθος L. Πρόβλημα μπορεί να προκύψει όταν έχουμε άρτιο πλήθος μεγεθών, επειδή τότε δεν μπορούμε να πάρουμε αριθμητικό μέσο. Στην περίπτωση αυτή συνήθως επιλέγουμε απλώς έναν από τους δύο μεσαίους αριθμούς ως διάμεσο.