Mediana

Mediana, spus simplu, împarte un set de valori astfel încât jumătate dintre valori să fie mai mici decât mediana, iar cealaltă jumătate mai mari decât mediana. În realitate lucrurile sunt ceva mai complicate și acum vom vedea cum.

Ce este mediana

La mediană contează dacă numărul de elemente ale populației este par sau impar. Când numărul de elemente ale populației este impar, obținem mediana ordonând toate valorile de la cea mai mică la cea mai mare, iar valoarea aflată exact la mijloc va fi mediana.

Ca exemplu luăm setul de numere 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Sunt 7 în total, ceea ce este un număr impar. Ordonăm numerele și obținem șirul 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Mediana, pe care o notăm Me, va fi elementul aflat la mijloc, adică numărul 3. Formula generală pentru o populație X de volum |X| = N, ale cărei elemente sunt x_i și sunt ordonate de la cel mai mic la cel mai mare, ar fi deci:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Dacă am încerca pentru setul nostru de valori X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], am obține:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Pentru un număr par de elemente trebuie să facem o mică modificare, pentru că un șir par de valori nu are „element la mijloc”. Dacă scoatem un 2 din populația noastră, obținem populația Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], iar aceasta nu are niciun element la mijloc. Ambele numere, 3 și 4, sunt „la fel de la mijloc”. În acest caz se procedează astfel: se iau amândouă elementele aflate astfel la mijloc, iar mediana va fi media lor aritmetică. Mediana valorilor Y ar fi astfel valoarea (3 + 4)/2 = 3,5.

Formula generală pentru valorile X de volum N cu elementele ordonate x_i ar arăta astfel:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Dacă calculăm astfel mediana valorilor Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], unde elementele le notăm y_i, obținem:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Avantajele medianei

Mediana, spre deosebire de media aritmetică, nu are probleme dacă în setul de valori există valori extreme. În exemplul de mai sus, cu setul X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], am obține media 92 / 7 ≈ 13,1429, care este o valoare cam ciudată, când șase dintre cele șapte elemente sunt mult mai mici. Mediana este atunci un număr rezonabil, trei.

Mediana se poate folosi, în plus, pentru toate valorile care pot fi cumva ordonate. Media o putem calcula doar pentru valorile pe care le putem aduna și apoi împărți. Putem lua, de exemplu, mărimile de haine: acolo există de obicei un șir de tipul XS, S, M, L, XL, XXL. Cu greu am putea face media unor astfel de valori, pentru că nu este clar definit cum se adună XS + L sau XL + L și nici nu este clar cum le-am împărți până la urmă. Totuși, dacă o populație a cumpărat haine S, S, M, L, L, L, XXL, putem spune că mediana este mărimea L. O problemă poate apărea atunci când avem un număr par de mărimi, pentru că atunci nu putem face media aritmetică. În acest caz alegem de obicei pur și simplu una dintre cele două valori din mijloc drept mediană.