Omregning mellem talsystemer

Hvordan du omregner tal fra titalssystemet til andre talsystemer, og omvendt hvordan du omregner tal fra andre talsystemer til titalssystemet.

Hvad er et talsystem

Til daglig bruger vi titalssystemet. Det har ti cifre, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Titalssystemet er kendetegnet ved, at når vi ganger et tal, for eksempel 57, med ti, rykker vi en plads — vi skal bruge et ciffer mere til at skrive tallet: 570.

Vi kan også have andre talsystemer. Et oktalt talsystem ville kun indeholde cifrene 0, …, 7. Udtrykket 7 + 1 ville så være lig med tallet 10, fordi vi i det oktale talsystem ikke har cifferet 8. Et sekstentalssystem ville have cifrene 0, 1, … 14, 15. Nogle gange bruger vi bogstaver i stedet for cifre, der er større end 9, så sekstentalssystemet har cifrene 0, …9, A, B, C, D, E, F.

Overraskende nok møder vi andre talsystemer også i hverdagen. Tiden for eksempel — sekunder og minutter regner vi i et sexagesimalt talsystem. Ethvert øjeblik på dagen kan vi skrive som et tal i det sexagesimale talsystem med tre cifre. Det første ciffer angiver timer, det andet minutter, det tredje sekunder. Hvis vi vælger et kolon som skilletegn mellem cifrene, har vi for eksempel tallet 14:05:59. Læg mærke til, at når vi lægger et sekund til dette tidspunkt, får vi ikke tidspunktet 14:05:60, men tidspunktet 14:06:00 — fordi 60 ikke er et gyldigt ciffer i det sexagesimale talsystem.

Omregning fra titalssystemet til totalssystemet

Lad os sige, at vi har tallet 70 på et stykke papir. Det vil vi nu omregne til totalssystemet, det binære talsystem. Princippet er forholdsvis enkelt: Vi dividerer hele tiden tallet, som vi vil omregne, med to, indtil vi når nul, og noterer os resterne ved heltalsdivisionen. Hvis vi vil omregne et tal til et andet talsystem, for eksempel sekstentalssystemet, dividerer vi med seksten. Hvis vi vil omregne til sekstalssystemet, dividerer vi med seks. I praksis ser det altså sådan ud:

$$\begin{array}{rcl}70:2& =35& ⟶0(\text{rest ved division})\\ 35:2& =17& ⟶1\\ 17:2& =8& ⟶1\\ 8:2& =4& ⟶0\\ 4:2& =2& ⟶0\\ 2:2& =1& ⟶0\\ 1:2& =0& ⟶1\end{array}$$

Det resulterende tal i totalssystemet består af resterne ved divisionen. Men vi tager ikke resterne oppefra, men nedefra. Tallet 70 i det binære talsystem er altså 1000110.

Omregning fra totalssystemet til titalssystemet

Den modsatte vej regner vi sådan. Lad os tage tallet 1100010 og omregne det til titalssystemet. Denne retning er enklere, vi skal bare beregne denne sum:

$${1100010}_2=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0$$

Hvert led har formen x · 2ⁱ, hvor x er et ciffer fra det oprindelige binære tal, og i vokser med én ad gangen fra højre. Da vi omregner tallet 1100010, ser summen altså sådan ud:

$${1100010}_2=\boxed{\text{1}}\cdot 2^6+\boxed{\text{1}}\cdot 2^5+\boxed{\text{0}}\cdot 2^4+\boxed{\text{0}}\cdot 2^3+\boxed{\text{0}}\cdot 2^2+\boxed{\text{1}}\cdot 2^1+\boxed{\text{0}}\cdot 2^0$$

Tallet 1100010 har syv cifre, så eksponenterne ved tallet to bliver efter tur 6, 5, …, 1, 0. Når vi udregner potenserne og ganger, får vi udtrykket:

$${1100010}_2=64+32+2=98.$$

Hvorfor virker denne fremgangsmåde?

Vi kan vise det på titalssystemet. Hvad betyder cifrene egentlig i et tal, for eksempel i tallet 7384? Cifferet 4 angiver antallet af enere, cifferet 8 antallet af tiere, cifferet 3 antallet af hundreder og cifferet 7 antallet af tusinder. Vi kan altså skrive, at

$$7384=7\cdot 1000+3\cdot 100+8\cdot 10+4\cdot 1$$

Dette udtryk kan vi omskrive, så vi ikke bruger tallene 100, 10 og 1, men i stedet altid har en potens af ti. Da 10⁰ = 1 og 10¹ = 10 osv., kan vi skrive

$$7384=7\cdot {10}^3+3\cdot {10}^2+8\cdot {10}^1+4\cdot {10}^0$$

Ethvert tal i titalssystemet kan vi beskrive på samme måde, hvor de enkelte led har formen x · 10ⁱ, og x er et ciffer fra 0 til 9, altså ti forskellige cifre. Værdien i er så et ikke-negativt helt tal, som angiver pladsen. Hvis i = 0, angiver leddet enere, hvis i = 2, angiver det hundreder (fordi 10² = 100).

Lad os nu prøve at omregne tallet 7348 fra titalssystemet til, øh…, titalssystemet. Det giver faktisk mening. Vi dividerer tallet 7348 med 10:

$$\begin{array}{rcl}7348:10& =734& ⟶8(\text{rest ved division})\\ 734:10& =73& ⟶4\\ 73:10& =7& ⟶3\\ 7:10& =0& ⟶7\end{array}$$

Hvis vi læser resterne nedefra, har vi tallet 7348 — altså det oprindelige tal, som vi forsøgte at omregne til … det samme talsystem.

Hvis vi vil beskrive totalssystemet, gør vi det helt på samme måde — alle led har formen x · 2ⁱ, hvor x er cifferet 0 eller 1. Værdien i angiver igen pladsen. Ligesom den gentagne division med ti giver os cifrene på de enkelte pladser i et tal i titalssystemet, giver den gentagne division med to os cifrene på pladserne i totalssystemet.

Læg samtidig mærke til, at når vi dividerer et tal med ti og spørger efter resten, vil resten altid ligge i intervallet [0; 9]. Hvis vi dividerer et tal med to, kan resten enten være 0 eller 1.

Omregning til andre talsystemer

Den foregående fremgangsmåde til omregning fra titalssystemet til det binære talsystem er så generel, at den også kan bruges til andre talsystemer. Hvis vi vil omregne tallet 185 til sekstentalssystemet, dividerer vi bare med 16:

$$\begin{array}{rcl}185:16& =11& ⟶9(\text{rest ved division})\\ 11:16& =0& ⟶11\end{array}$$

Tallet 185 ville i sekstentalssystemet have formen (11, 9). I stedet for »cifre« over 9 bruger man som regel bogstaver, så 10 = A, 11 = B, 12 = C, … Vi kan altså skrive, at tallet 185 i sekstentalssystemet har formen B9.

På samme måde kan vi omregne tallet B9 fra sekstentalssystemet til titalssystemet.

$$B{9}_{16}=11\cdot {16}^1+9\cdot {16}^0=11\cdot 16+9=185$$