Lukujärjestelmän vaihto

Miten lukuja muunnetaan kymmenjärjestelmästä muihin lukujärjestelmiin ja toisin päin, muista lukujärjestelmistä kymmenjärjestelmään.

Mikä on lukujärjestelmä

Tavallisesti käytämme kymmenjärjestelmää. Siinä on kymmenen numeroa: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Kymmenjärjestelmän tunnistaa siitä, että kun kerromme jonkin luvun, esimerkiksi 57, kymmenellä, siirrymme yhden paikan eteenpäin – tarvitsemme yhden numeron lisää luvun kirjoittamiseen: 570.

Voi olla myös muita lukujärjestelmiä. Kahdeksanjärjestelmässä olisi vain numerot 0, …, 7. Lauseke 7 + 1 olisi siis yhtä kuin 10, koska kahdeksanjärjestelmässä ei ole numeroa 8. Kuusitoistajärjestelmässä olisi numerot 0, 1, … 14, 15. Joskus yhdeksää suurempien numeroiden tilalla käytetään kirjaimia, jolloin kuusitoistajärjestelmän numerot olisivat 0, …9, A, B, C, D, E, F.

Muihin lukujärjestelmiin törmäämme yllättäen myös arjessa. Esimerkiksi aikaa – sekunteja ja minuutteja – lasketaan kuusikymmenjärjestelmässä. Jokaisen hetken voi kirjoittaa kolminumeroisena lukuna kuusikymmenjärjestelmässä. Ensimmäinen numero kertoo tunnit, toinen minuutit ja kolmas sekunnit. Kun valitsemme numeroiden erottimeksi pisteen, saamme esimerkiksi luvun 14.05.59. Huomaa, että kun tähän aikaan lisätään yksi sekunti, emme saa aikaa 14.05.60, vaan ajan 14.06.00, koska 60 ei ole kuusikymmenjärjestelmän numero.

Muunnos kymmenjärjestelmästä kaksijärjestelmään

Olkoon paperilla luku 70. Haluamme muuntaa sen kaksijärjestelmään eli binäärijärjestelmään. Periaate on melko yksinkertainen: jaamme muunnettavaa lukua kahdella yhä uudelleen, kunnes pääsemme nollaan, ja kirjoitamme muistiin kokonaislukujaon jakojäännökset. Jos haluamme muuntaa luvun johonkin toiseen järjestelmään, esimerkiksi kuusitoistajärjestelmään, jaamme luvulla 16. Jos kuusijärjestelmään, jaamme kuudella. Käytännössä se näyttää tältä:

$$\begin{array}{rcl}70:2& =35& ⟶0(\text{jakojäännös})\\ 35:2& =17& ⟶1\\ 17:2& =8& ⟶1\\ 8:2& =4& ⟶0\\ 4:2& =2& ⟶0\\ 2:2& =1& ⟶0\\ 1:2& =0& ⟶1\end{array}$$

Luvun kaksijärjestelmäesityksen antavat jakojäännökset. Emme kuitenkaan lue niitä ylhäältä alas vaan alhaalta ylös. Luku 70 on siis binäärijärjestelmässä 1000110.

Muunnos kaksijärjestelmästä kymmenjärjestelmään

Toiseen suuntaan muunnos tehdään näin. Olkoon luku 1100010, jonka haluamme muuntaa kymmenjärjestelmään. Tämä suunta on helpompi, riittää laskea summa:

$${1100010}_2=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0$$

Jokaisella yhteenlaskettavalla on muoto x · 2ⁱ, missä x on alkuperäisen binääriluvun numero ja i kasvaa oikealta alkaen aina yhdellä. Koska muunnamme lukua 1100010, summa näyttää tältä:

$${1100010}_2=\boxed{\text{1}}\cdot 2^6+\boxed{\text{1}}\cdot 2^5+\boxed{\text{0}}\cdot 2^4+\boxed{\text{0}}\cdot 2^3+\boxed{\text{0}}\cdot 2^2+\boxed{\text{1}}\cdot 2^1+\boxed{\text{0}}\cdot 2^0$$

Luvussa 1100010 on seitsemän numeroa, joten kakkosen potenssit ovat järjestyksessä 6, 5, …, 1, 0. Kun potenssit on laskettu ja tulot kerrottu, saamme lausekkeen:

$${1100010}_2=64+32+2=98.$$

Miksi menetelmä toimii?

Havainnollistetaan asiaa kymmenjärjestelmällä. Mitä luvun, vaikkapa 7 384, numerot todella tarkoittavat? Numero 4 kertoo ykkösten määrän, numero 8 kymmenien määrän, numero 3 satojen määrän ja numero 7 tuhansien määrän. Voimme siis kirjoittaa

$$7384=7\cdot 1000+3\cdot 100+8\cdot 10+4\cdot 1$$

Tätä lauseketta voi vielä muokata niin, että luvuilla 100, 10 ja 1 ei ole tarvetta, vaan niiden tilalla on aina kymmenen potenssi. Koska 10⁰ = 1, 10¹ = 10 jne., voimme kirjoittaa

$$7384=7\cdot {10}^3+3\cdot {10}^2+8\cdot {10}^1+4\cdot {10}^0$$

Jokainen kymmenjärjestelmän luku voidaan kuvata samalla tavalla. Yhteenlaskettavilla on muoto x · 10ⁱ, missä x on numero väliltä 0–9, joita on kymmenen. Arvo i on jokin ei-negatiivinen kokonaisluku, joka kertoo paikan. Jos i = 0, yhteenlaskettava kertoo ykköset, ja jos i = 2, se kertoo sadat (koska 10² = 100).

Yritetään nyt muuntaa luku 7 348 kymmenjärjestelmästä, öö…, kymmenjärjestelmään. Sillä on tarkoitus. Jaamme luvun 7 348 kymmenellä:

$$\begin{array}{rcl}7348:10& =734& ⟶8(\text{jakojäännös})\\ 734:10& =73& ⟶4\\ 73:10& =7& ⟶3\\ 7:10& =0& ⟶7\end{array}$$

Kun luemme jakojäännökset alhaalta ylös, saamme luvun 7 348 – eli takaisin alkuperäisen luvun, jonka yritimme muuntaa … samaan järjestelmään.

Jos haluamme kuvata kaksijärjestelmän, teemme sen aivan samoin – kaikki yhteenlaskettavat ovat muotoa x · 2ⁱ, missä x on numero 0 tai 1. Arvo i kertoo jälleen paikan. Aivan kuten toistuva jako kymmenellä antaa luvun paikkojen määrän kymmenjärjestelmässä, toistuva jako kahdella antaa paikkojen määrän kaksijärjestelmässä.

Huomaa myös, että kun jaamme luvun kymmenellä ja kysymme jakojäännöstä, jakojäännös on aina välillä [0, 9]. Kun jaamme luvun kahdella, jakojäännös voi olla joko 0 tai 1.

Muunnos muihin lukujärjestelmiin

Edellä kuvattu menetelmä kymmenjärjestelmästä binäärijärjestelmään on niin yleinen, että sitä voi käyttää myös muihin järjestelmiin. Jos haluamme muuntaa luvun 185 kuusitoistajärjestelmään, jaamme vain luvulla 16:

$$\begin{array}{rcl}185:16& =11& ⟶9(\text{jakojäännös})\\ 11:16& =0& ⟶11\end{array}$$

Luku 185 olisi kuusitoistajärjestelmässä muotoa (11, 9). Yhdeksää suurempien ”numeroiden” tilalla käytetään yleensä kirjaimia, joten 10 = A, 11 = B, 12 = C, … Voimme siis kirjoittaa, että luku 185 on kuusitoistajärjestelmässä B9.

Samalla tavalla voimme muuntaa luvun B9 kuusitoistajärjestelmästä kymmenjärjestelmään.

$$B{9}_{16}=11\cdot {16}^1+9\cdot {16}^0=11\cdot 16+9=185$$