Umrechnung zwischen Zahlensystemen

Wie du Zahlen aus dem Dezimalsystem in andere Zahlensysteme umrechnest und umgekehrt Zahlen aus anderen Zahlensystemen ins Dezimalsystem.

Was ist ein Zahlensystem

Normalerweise arbeiten wir mit dem Dezimalsystem. Dieses System hat zehn Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Das Dezimalsystem zeichnet sich dadurch aus, dass wir, wenn wir eine Zahl, zum Beispiel 57, mit zehn multiplizieren, um eine Stelle weiterrücken – wir brauchen eine Ziffer mehr, um diese Zahl zu schreiben: 570.

Wir können auch andere Zahlensysteme haben: Ein Oktalsystem (Achtersystem) enthielte nur die Ziffern 0, …, 7. Der Term 7 + 1 wäre dann gleich der Zahl 10, weil wir im Oktalsystem keine Ziffer 8 haben. Das Hexadezimalsystem hätte die Ziffern 0, 1, … 14, 15. Manchmal verwenden wir anstelle der Ziffern, die größer als 9 sind, Buchstaben, sodass das Hexadezimalsystem die Ziffern 0, …9, A, B, C, D, E, F hätte.

Anderen Zahlensystemen begegnen wir überraschenderweise auch im Alltag. Zum Beispiel die Zeit – Sekunden und Minuten zählen wir im Sechzigersystem. Jeden Augenblick des Tages können wir als Zahl im Sechzigersystem mit drei Ziffern schreiben. Die erste Ziffer gibt die Stunden an, die zweite die Minuten, die dritte die Sekunden. Wenn wir als Trennzeichen der Ziffern einen Doppelpunkt wählen, haben wir zum Beispiel die Zahl 14:05:59. Beachte, dass wir, wenn wir zu dieser Uhrzeit eine Sekunde addieren, nicht die Uhrzeit 14:05:60 erhalten, sondern 14:06:00 – denn die Ziffer 60 ist keine gültige Ziffer des Sechzigersystems.

Umrechnung vom Dezimal- ins Dualsystem

Angenommen, wir haben auf dem Papier die Zahl 70. Diese Zahl wollen wir nun ins Dualsystem (Binärsystem) umrechnen. Das Prinzip ist ziemlich einfach: Die Zahl, die wir umrechnen wollen, teilen wir immer wieder durch zwei, bis wir bei null ankommen, und notieren dabei die Reste der ganzzahligen Division. Wenn wir die Zahl in ein anderes System umrechnen wollen, zum Beispiel ins Hexadezimalsystem, teilen wir durch sechzehn. Wenn ins Sechsersystem, teilen wir durch sechs. In der Praxis sieht das so aus:

$$\begin{array}{rcl}70:2& =35& ⟶0(\text{Rest der Division})\\ 35:2& =17& ⟶1\\ 17:2& =8& ⟶1\\ 8:2& =4& ⟶0\\ 4:2& =2& ⟶0\\ 2:2& =1& ⟶0\\ 1:2& =0& ⟶1\end{array}$$

Die Zahl im Dualsystem ergibt sich aus den Resten der Division. Wir nehmen die Reste aber nicht von oben, sondern von unten. Die Zahl 70 ist im Binärsystem also 1000110.

Umrechnung vom Dual- ins Dezimalsystem

In die andere Richtung würden wir so rechnen. Nehmen wir die Zahl 1100010 und rechnen wir sie ins Dezimalsystem um. Diese Richtung ist einfacher, wir müssen nur diese Summe berechnen:

$${1100010}_2=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0$$

Jeder Summand hat die Form x · 2ⁱ, wobei x eine Ziffer der ursprünglichen Binärzahl ist und i sich von rechts nach links jeweils um eins erhöht. Da wir die Zahl 1100010 umrechnen, sieht diese Summe so aus:

$${1100010}_2=\boxed{\text{1}}\cdot 2^6+\boxed{\text{1}}\cdot 2^5+\boxed{\text{0}}\cdot 2^4+\boxed{\text{0}}\cdot 2^3+\boxed{\text{0}}\cdot 2^2+\boxed{\text{1}}\cdot 2^1+\boxed{\text{0}}\cdot 2^0$$

Die Zahl 1100010 hat sieben Ziffern, die Exponenten bei der Zahl zwei sind also nacheinander 6, 5, …, 1, 0. Nach dem Potenzieren und Multiplizieren erhalten wir den Term:

$${1100010}_2=64+32+2=98.$$

Warum funktioniert dieses Vorgehen?

Wir können es am Dezimalsystem vorführen. Was bedeuten die Ziffern in einer Zahl eigentlich, zum Beispiel in der Zahl 7384? Die Ziffer 4 gibt die Anzahl der Einer an, die Ziffer 8 die Anzahl der Zehner, die Ziffer 3 die Anzahl der Hunderter und die Ziffer 7 die Anzahl der Tausender. Wir können also schreiben:

$$7384=7\cdot 1000+3\cdot 100+8\cdot 10+4\cdot 1$$

Diesen Term können wir noch so umformen, dass wir nicht die Zahlen 100, 10 und 1 verwenden, sondern überall eine Potenz von zehn stehen haben. Da 10⁰ = 1 und 10¹ = 10 usw. gilt, können wir schreiben:

$$7384=7\cdot {10}^3+3\cdot {10}^2+8\cdot {10}^1+4\cdot {10}^0$$

Jede Zahl im Dezimalsystem können wir auf die gleiche Weise beschreiben, wobei die einzelnen Summanden die Form x · 10ⁱ haben. Dabei ist x eine Ziffer von 0 bis 9; solche Ziffern gibt es zehn. Der Wert i ist dann eine nichtnegative ganze Zahl, die die Stelle angibt. Wenn i = 0 ist, dann gibt der Summand die Einer an, wenn i = 2 ist, dann die Hunderter (denn 10² = 100).

Versuchen wir nun, die Zahl 7348 vom Dezimalsystem ins, äh …, Dezimalsystem umzurechnen. Es wird Sinn ergeben. Die Zahl 7348 teilen wir durch 10:

$$\begin{array}{rcl}7348:10& =734& ⟶8(\text{Rest der Division})\\ 734:10& =73& ⟶4\\ 73:10& =7& ⟶3\\ 7:10& =0& ⟶7\end{array}$$

Wenn wir die Reste von unten lesen, haben wir die Zahl 7348 – also wieder die ursprüngliche Zahl, die wir ins … gleiche System umrechnen wollten.

Wenn wir das Dualsystem beschreiben wollen, machen wir es genau gleich – alle Summanden haben die Form x · 2ⁱ, wobei x die Ziffer 0 oder 1 ist. Der Wert i gibt wieder die Stelle an. So wie uns das fortgesetzte Teilen durch zehn die Ziffern der einzelnen Stellen einer Zahl im Dezimalsystem liefert, liefert uns das fortgesetzte Teilen durch zwei die Ziffern der einzelnen Stellen im Dualsystem.

Beachte außerdem: Wenn wir eine Zahl durch zehn teilen und nach dem Rest fragen, liegt dieser Rest immer im Intervall [0; 9]. Wenn wir eine Zahl durch zwei teilen, kann der Rest entweder 0 oder 1 sein.

Umrechnung in andere Zahlensysteme

Das vorherige Vorgehen zur Umrechnung vom Dezimal- ins Binärsystem ist so allgemein, dass es sich auch auf andere Systeme anwenden lässt. Wenn wir die Zahl 185 ins Hexadezimalsystem umrechnen wollen, teilen wir einfach durch 16:

$$\begin{array}{rcl}185:16& =11& ⟶9(\text{Rest der Division})\\ 11:16& =0& ⟶11\end{array}$$

Die Zahl 185 hätte im 16er-System die Form (11, 9). Anstelle der „Ziffern“ über 9 werden üblicherweise Buchstaben verwendet, sodass 10 = A, 11 = B, 12 = C, … gilt. Wir können also schreiben, dass die Zahl 185 im 16er-System die Form B9 hat.

Ähnlich können wir die Zahl B9 aus dem 16er-System ins Dezimalsystem umrechnen.

$$B{9}_{16}=11\cdot {16}^1+9\cdot {16}^0=11\cdot 16+9=185$$