Conversia între sistemele de numerație

Cum se convertesc numerele din sistemul zecimal în alte sisteme de numerație și, invers, cum se convertesc numerele din alte sisteme de numerație în sistemul zecimal.

Ce este un sistem de numerație

În mod obișnuit lucrăm cu sistemul zecimal. Acest sistem are zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9. Sistemul zecimal se caracterizează prin faptul că, atunci când înmulțim un număr, de exemplu 57, cu zece, ne mutăm cu un ordin mai departe – avem nevoie de o cifră în plus pentru a scrie numărul: 570.

Putem avea și alte sisteme de numerație; de exemplu, un sistem de numerație în baza opt ar avea doar cifrele 0, …, 7. Expresia 7 + 1 ar fi astfel egală cu 10, pentru că în baza opt nu avem cifra 8. Sistemul în baza șaisprezece ar avea cifrele 0, 1, … 14, 15. Uneori, în loc de cifrele mai mari decât 9, folosim litere, deci sistemul în baza șaisprezece ar avea cifrele 0, …9, A, B, C, D, E, F.

Cu alte sisteme de numerație ne întâlnim, surprinzător, chiar și în viața de zi cu zi. De exemplu, timpul – secundele și minutele le numărăm în baza șaizeci. Orice moment al zilei îl putem scrie ca un număr în baza șaizeci cu trei cifre. Prima cifră arată orele, a doua minutele, a treia secundele. Dacă alegem ca separator două puncte, avem de exemplu numărul 14:05:59. Observă că, dacă la acest moment adăugăm o secundă, nu obținem 14:05:60, ci 14:06:00 – pentru că 60 nu este o cifră validă în baza șaizeci.

Conversia din baza zece în baza doi

Presupunem că avem scris pe hârtie numărul 70. Vrem să-l convertim în sistemul binar, adică în baza doi. Principiul este destul de simplu: numărul pe care vrem să-l convertim îl împărțim mereu la doi, până ajungem la zero, notând resturile împărțirilor. Dacă vrem să convertim numărul într-o altă bază, de exemplu în baza șaisprezece, vom împărți la șaisprezece. Dacă vrem în baza șase, împărțim la șase. În practică va arăta astfel:

$$\begin{array}{rcl}70:2& =35& ⟶0(\text{restul împărțirii})\\ 35:2& =17& ⟶1\\ 17:2& =8& ⟶1\\ 8:2& =4& ⟶0\\ 4:2& =2& ⟶0\\ 2:2& =1& ⟶0\\ 1:2& =0& ⟶1\end{array}$$

Numărul obținut în baza doi este dat de resturile împărțirilor. Nu le luăm însă de sus în jos, ci de jos în sus. Deci numărul 70 în sistemul binar este 1000110.

Conversia din baza doi în baza zece

În sens invers convertim astfel. Fie numărul 1100010, pe care vrem să-l convertim în baza zece. Această direcție este mai simplă, e suficient să calculăm următoarea sumă:

$${1100010}_2=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0$$

Fiecare termen al sumei are forma x · 2ⁱ, unde x este o cifră a numărului binar inițial, iar i crește de la dreapta la stânga, de fiecare dată cu unu. Deoarece convertim numărul 1100010, suma arată astfel:

$${1100010}_2=\boxed{\text{1}}\cdot 2^6+\boxed{\text{1}}\cdot 2^5+\boxed{\text{0}}\cdot 2^4+\boxed{\text{0}}\cdot 2^3+\boxed{\text{0}}\cdot 2^2+\boxed{\text{1}}\cdot 2^1+\boxed{\text{0}}\cdot 2^0$$

Numărul 1100010 are șapte cifre, deci puterile lui doi vor fi pe rând 6, 5, …, 1, 0. După ridicarea la putere și înmulțire obținem expresia:

$${1100010}_2=64+32+2=98.$$

De ce funcționează acest procedeu?

Putem ilustra acest lucru pe sistemul zecimal. Ce înseamnă de fapt cifrele dintr-un număr, de exemplu din numărul 7384? Cifra 4 arată numărul de unități, cifra 8 numărul de zeci, cifra 3 numărul de sute și cifra 7 numărul de mii. Deci putem scrie că

$$7384=7\cdot 1000+3\cdot 100+8\cdot 10+4\cdot 1$$

Această expresie o mai putem transforma astfel încât să nu folosim numerele 100, 10 și 1, ci să avem de fiecare dată o putere a lui zece. Deoarece 10⁰ = 1, 10¹ = 10 etc., putem scrie

$$7384=7\cdot {10}^3+3\cdot {10}^2+8\cdot {10}^1+4\cdot {10}^0$$

Orice număr din sistemul zecimal îl putem descrie în același fel, iar termenii au forma x · 10ⁱ, unde x este o cifră de la 0 la 9, deci avem zece cifre. Valoarea i este un număr întreg nenegativ care arată ordinul. Dacă i = 0, termenul reprezintă unitățile, dacă i = 2, reprezintă sutele (pentru că 10² = 100).

Să încercăm acum să convertim numărul 7348 din sistemul zecimal în, ăă…, sistemul zecimal. Va avea sens. Numărul 7348 îl împărțim la 10:

$$\begin{array}{rcl}7348:10& =734& ⟶8(\text{restul împărțirii})\\ 734:10& =73& ⟶4\\ 73:10& =7& ⟶3\\ 7:10& =0& ⟶7\end{array}$$

Dacă citim resturile de jos în sus, obținem numărul 7348 – înapoi numărul inițial, pe care ne-am străduit să-l convertim în … același sistem.

Dacă vrem să descriem sistemul binar, procedăm exact la fel – toți termenii vor avea forma x · 2ⁱ, unde x este cifra 0 sau 1. Valoarea i arată din nou ordinele. Așa cum împărțirea succesivă la zece ne dă ordinele unui număr din sistemul zecimal, împărțirea succesivă la doi ne dă ordinele din sistemul binar.

Observă totodată că, atunci când împărțim un număr la zece și ne întrebăm care este restul, acesta se află mereu în intervalul [0, 9]. Dacă împărțim un număr la doi, restul poate fi 0 sau 1.

Conversia în alte baze

Procedeul anterior de conversie din baza zece în baza doi este atât de general, încât poate fi folosit și pentru alte baze. Dacă vrem să convertim numărul 185 în baza șaisprezece, doar împărțim la 16:

$$\begin{array}{rcl}185:16& =11& ⟶9(\text{restul împărțirii})\\ 11:16& =0& ⟶11\end{array}$$

În baza 16, numărul 185 ar avea forma (11, 9). În loc de „cifre” mai mari decât 9 se folosesc de obicei litere, deci 10 = A, 11 = B, 12 = C, … Putem scrie astfel că numărul 185 are în baza 16 forma B9.

În mod asemănător putem converti numărul B9 din baza 16 în baza zece.

$$B{9}_{16}=11\cdot {16}^1+9\cdot {16}^0=11\cdot 16+9=185$$