Μετατροπές συστημάτων αρίθμησης

Πώς να μετατρέπεις αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα σε άλλα συστήματα και αντίστροφα, πώς να μετατρέπεις αριθμούς από άλλα συστήματα στο δεκαδικό.

Τι είναι το αριθμητικό σύστημα

Συνήθως δουλεύουμε με το δεκαδικό σύστημα. Αυτό το σύστημα έχει δέκα ψηφία, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9. Το δεκαδικό σύστημα χαρακτηρίζεται από το ότι όταν έναν αριθμό, για παράδειγμα το 57, τον πολλαπλασιάσουμε με το δέκα, μετακινούμαστε κατά μία τάξη – χρειαζόμαστε ένα ψηφίο παραπάνω για να περιγράψουμε αυτόν τον αριθμό: 570.

Μπορούμε να έχουμε και άλλα αριθμητικά συστήματα, ένα οκταδικό σύστημα θα περιείχε μόνο τα ψηφία 0, …, 7. Η παράσταση 7 + 1 θα ήταν έτσι ίση με τον αριθμό 10, επειδή στο οκταδικό σύστημα δεν έχουμε το ψηφίο 8. Ένα δεκαεξαδικό σύστημα θα είχε τα ψηφία 0, 1, … 14, 15. Μερικές φορές αντί για τα ψηφία που είναι μεγαλύτερα από το 9 χρησιμοποιούμε γράμματα, οπότε το δεκαεξαδικό σύστημα θα είχε τα ψηφία 0, …9, A, B, C, D, E, F.

Άλλα αριθμητικά συστήματα τα συναντάμε, παραδόξως, και στην καθημερινή ζωή. Για παράδειγμα τον χρόνο – τα δευτερόλεπτα και τα λεπτά τα μετράμε στο εξηκονταδικό σύστημα. Κάθε στιγμή της ημέρας μπορούμε να τη γράψουμε ως αριθμό στο εξηκονταδικό σύστημα με τρία ψηφία. Το πρώτο ψηφίο δείχνει τις ώρες, το δεύτερο τα λεπτά, το τρίτο τα δευτερόλεπτα. Αν επιλέξουμε ως διαχωριστικό των ψηφίων την άνω και κάτω τελεία, έχουμε για παράδειγμα τον αριθμό 14:05:59. Πρόσεξε ότι όταν σε αυτή την ώρα προσθέσουμε ένα δευτερόλεπτο, δεν παίρνουμε την ώρα 14:05:60, αλλά την ώρα 14:06:00 – επειδή το 60 δεν είναι έγκυρο ψηφίο του εξηκονταδικού συστήματος.

Μετατροπή από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα

Έστω ότι έχουμε στο χαρτί τον αριθμό 70. Αυτόν τον αριθμό θέλουμε τώρα να τον μετατρέψουμε στο δυαδικό σύστημα. Η αρχή είναι σχετικά απλή: τον αριθμό που θέλουμε να μετατρέψουμε τον διαιρούμε συνεχώς με το δύο, μέχρι να φτάσουμε στο μηδέν, και γράφουμε τα υπόλοιπα της ευκλείδειας διαίρεσης. Αν θέλουμε να μετατρέψουμε τον αριθμό σε άλλο σύστημα, για παράδειγμα στο δεκαεξαδικό, θα διαιρούμε με το δεκαέξι. Αν στο εξαδικό, διαιρούμε με το έξι. Στην πράξη θα μοιάζει κάπως έτσι:

$$\begin{array}{rcl}70:2& =35& ⟶0(\text{υπόλοιπο της διαίρεσης})\\ 35:2& =17& ⟶1\\ 17:2& =8& ⟶1\\ 8:2& =4& ⟶0\\ 4:2& =2& ⟶0\\ 2:2& =1& ⟶0\\ 1:2& =0& ⟶1\end{array}$$

Τον αριθμό που προκύπτει στο δυαδικό σύστημα τον δίνουν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων. Δεν παίρνουμε όμως τα υπόλοιπα από πάνω, αλλά από κάτω. Άρα ο αριθμός 70 στο δυαδικό σύστημα είναι 1000110.

Μετατροπή από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα

Αντίστροφα θα μετατρέπαμε ως εξής. Έστω ο αριθμός 1100010· ας τον μετατρέψουμε στο δεκαδικό σύστημα. Αυτή η κατεύθυνση είναι πιο εύκολη, αρκεί να υπολογίσουμε αυτό το άθροισμα:

$${1100010}_2=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0$$

Κάθε προσθετέος έχει τη μορφή x · 2ⁱ, όπου x είναι ένα ψηφίο του αρχικού δυαδικού αριθμού και το i αυξάνεται διαδοχικά από τα δεξιά κατά ένα. Επειδή μετατρέπουμε τον αριθμό 1100010, το άθροισμα μοιάζει έτσι:

$${1100010}_2=\boxed{\text{1}}\cdot 2^6+\boxed{\text{1}}\cdot 2^5+\boxed{\text{0}}\cdot 2^4+\boxed{\text{0}}\cdot 2^3+\boxed{\text{0}}\cdot 2^2+\boxed{\text{1}}\cdot 2^1+\boxed{\text{0}}\cdot 2^0$$

Ο αριθμός 1100010 έχει επτά ψηφία, άρα οι εκθέτες του δύο θα είναι διαδοχικά 6, 5, …, 1, 0. Αφού υπολογίσουμε τις δυνάμεις και κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς, παίρνουμε την παράσταση:

$${1100010}_2=64+32+2=98.$$

Γιατί λειτουργεί αυτή η διαδικασία;

Μπορούμε να το δείξουμε στο δεκαδικό σύστημα. Τι σημαίνουν στην πραγματικότητα τα ψηφία σε έναν αριθμό, για παράδειγμα στο 7384; Το ψηφίο 4 δείχνει τον αριθμό των μονάδων, το ψηφίο 8 τον αριθμό των δεκάδων, το ψηφίο 3 τον αριθμό των εκατοντάδων και το ψηφίο 7 τον αριθμό των χιλιάδων. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε ότι

$$7384=7\cdot 1000+3\cdot 100+8\cdot 10+4\cdot 1$$

Αυτή την παράσταση μπορούμε να τη μετασχηματίσουμε ώστε να μη χρησιμοποιούμε τους αριθμούς 100, 10 και 1, αλλά να έχουμε πάντα κάποια δύναμη του δέκα. Επειδή ισχύει 10⁰ = 1 και 10¹ = 10 κ.ο.κ., μπορούμε να γράψουμε

$$7384=7\cdot {10}^3+3\cdot {10}^2+8\cdot {10}^1+4\cdot {10}^0$$

Κάθε αριθμό στο δεκαδικό σύστημα μπορούμε να τον περιγράψουμε με τον ίδιο τρόπο, και οι επιμέρους προσθετέοι έχουν τη μορφή x · 10ⁱ, όπου x είναι ένα ψηφίο από 0 έως 9, και τέτοια ψηφία είναι δέκα. Η τιμή i είναι κάποιος μη αρνητικός ακέραιος που δείχνει την τάξη. Αν i = 0, τότε ο προσθετέος δείχνει μονάδες, αν i = 2, τότε δείχνει εκατοντάδες (επειδή 10² = 100).

Ας δοκιμάσουμε τώρα να μετατρέψουμε τον αριθμό 7348 από το δεκαδικό σύστημα στο, χμ…, δεκαδικό σύστημα. Θα έχει νόημα. Τον αριθμό 7348 θα τον διαιρέσουμε με το 10:

$$\begin{array}{rcl}7348:10& =734& ⟶8(\text{υπόλοιπο της διαίρεσης})\\ 734:10& =73& ⟶4\\ 73:10& =7& ⟶3\\ 7:10& =0& ⟶7\end{array}$$

Αν διαβάσουμε τα υπόλοιπα από κάτω, έχουμε τον αριθμό 7348 – πίσω τον αρχικό αριθμό, που προσπαθούσαμε να μετατρέψουμε … στο ίδιο σύστημα.

Αν θέλουμε να περιγράψουμε το δυαδικό σύστημα, θα το κάνουμε ακριβώς το ίδιο – όλοι οι προσθετέοι θα έχουν τη μορφή x · 2ⁱ, όπου x είναι το ψηφίο 0 ή 1. Η τιμή i πάλι δείχνει τις τάξεις. Όπως ακριβώς η διαδοχική διαίρεση με το δέκα μας δίνει τον αριθμό των τάξεων ενός αριθμού στο δεκαδικό σύστημα, έτσι και η διαδοχική διαίρεση με το δύο μας δίνει τον αριθμό των τάξεων στο δυαδικό σύστημα.

Πρόσεξε επίσης ότι όταν διαιρούμε έναν αριθμό με το δέκα και ρωτάμε για το υπόλοιπο, αυτό το υπόλοιπο θα είναι πάντα στο διάστημα [0, 9]. Αν διαιρούμε έναν αριθμό με το δύο, το υπόλοιπο μπορεί να είναι είτε 0 είτε 1.

Μετατροπή σε άλλα συστήματα

Η προηγούμενη διαδικασία για τη μετατροπή από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα είναι τόσο γενική, που μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε άλλα συστήματα. Αν θέλουμε να μετατρέψουμε τον αριθμό 185 στο δεκαεξαδικό σύστημα, απλώς διαιρούμε με το 16:

$$\begin{array}{rcl}185:16& =11& ⟶9(\text{υπόλοιπο της διαίρεσης})\\ 11:16& =0& ⟶11\end{array}$$

Ο αριθμός 185 στο σύστημα με βάση το 16 θα είχε τη μορφή (11, 9). Αντί για «ψηφία» πάνω από το 9 χρησιμοποιούνται συνήθως γράμματα, άρα 10 = A, 11 = B, 12 = C, … Μπορούμε έτσι να γράψουμε ότι ο αριθμός 185 στο δεκαεξαδικό σύστημα έχει τη μορφή B9.

Παρόμοια μπορούμε να μετατρέψουμε τον αριθμό B9 από το δεκαεξαδικό σύστημα στο δεκαδικό.

$$B{9}_{16}=11\cdot {16}^1+9\cdot {16}^0=11\cdot 16+9=185$$