Omregning mellom tallsystemer

Hvordan regner vi om tall fra titallssystemet til andre tallsystemer, og omvendt, hvordan regner vi om tall fra andre tallsystemer til titallssystemet?

Hva er et tallsystem?

Til vanlig bruker vi titallssystemet. Det har ti siffer, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Det som kjennetegner titallssystemet, er at når vi ganger et tall, for eksempel 57, med ti, flytter vi oss én plass — vi trenger ett siffer mer for å skrive tallet: 570.

Vi kan også ha andre tallsystemer. Et oktalt tallsystem (åttetallssystem) ville bare ha sifrene 0, …, 7. Uttrykket 7 + 1 ville da være lik tallet 10, fordi vi ikke har sifferet 8 i det oktale systemet. Et sekstentallssystem ville ha sifrene 0, 1, … 14, 15. Noen ganger bruker vi bokstaver i stedet for sifre som er større enn 9, så sekstentallssystemet har sifrene 0, …9, A, B, C, D, E, F.

Overraskende nok møter vi andre tallsystemer også i hverdagen. For eksempel regner vi tid — sekunder og minutter — i et sexagesimalt system (sekstitallssystem). Hvert øyeblikk av døgnet kan vi skrive som et tall i sekstitallssystemet med tre siffer. Det første sifferet angir timer, det andre minutter og det tredje sekunder. Hvis vi bruker kolon som skilletegn mellom sifrene, får vi for eksempel tallet 14:05:59. Legg merke til at når vi legger til ett sekund, får vi ikke klokkeslettet 14:05:60, men 14:06:00 — fordi 60 ikke er et gyldig siffer i sekstitallssystemet.

Fra titallssystemet til totallssystemet

La oss si at vi har tallet 70 på et ark. Dette tallet vil vi nå regne om til totallssystemet, altså det binære systemet. Prinsippet er ganske enkelt: Vi deler tallet vi vil regne om, på 2 igjen og igjen til vi kommer til null, og skriver ned restene fra heltallsdivisjonen. Hvis vi vil regne om til et annet system, for eksempel sekstentallssystemet, deler vi på 16. Hvis vi vil regne om til et system med grunntall 6, deler vi på 6. I praksis ser det slik ut:

$$\begin{array}{rcl}70:2& =35& ⟶0(\text{rest})\\ 35:2& =17& ⟶1\\ 17:2& =8& ⟶1\\ 8:2& =4& ⟶0\\ 4:2& =2& ⟶0\\ 2:2& =1& ⟶0\\ 1:2& =0& ⟶1\end{array}$$

Tallet i totallssystemet er gitt av restene. Men vi leser restene ikke ovenfra, men nedenfra. Tallet 70 i det binære systemet er altså 1000110.

Fra totallssystemet til titallssystemet

Omvendt regner vi slik. La oss ta tallet 1100010 og regne det om til titallssystemet. Denne veien er enklere, vi trenger bare å regne ut denne summen:

$${1100010}_2=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0$$

Hvert ledd har formen x · 2ⁱ, der x er et siffer i det opprinnelige binære tallet, og i øker med én om gangen fra høyre. Siden vi regner om tallet 1100010, ser summen slik ut:

$${1100010}_2=\boxed{\text{1}}\cdot 2^6+\boxed{\text{1}}\cdot 2^5+\boxed{\text{0}}\cdot 2^4+\boxed{\text{0}}\cdot 2^3+\boxed{\text{0}}\cdot 2^2+\boxed{\text{1}}\cdot 2^1+\boxed{\text{0}}\cdot 2^0$$

Tallet 1100010 har sju siffer, så eksponentene til tallet 2 blir etter tur 6, 5, …, 1, 0. Når vi har regnet ut potensene og ganget, får vi uttrykket:

$${1100010}_2=64+32+2=98.$$

Hvorfor fungerer denne fremgangsmåten?

Vi kan vise det med titallssystemet. Hva betyr egentlig sifrene i et tall, for eksempel i tallet 7384? Sifferet 4 angir antall enere, sifferet 8 antall tiere, sifferet 3 antall hundrere og sifferet 7 antall tusenere. Vi kan altså skrive at

$$7384=7\cdot 1000+3\cdot 100+8\cdot 10+4\cdot 1$$

Dette uttrykket kan vi skrive om slik at vi ikke bruker tallene 100, 10 og 1, men alltid har en potens av ti. Siden 10⁰ = 1 og 10¹ = 10 osv., kan vi skrive

$$7384=7\cdot {10}^3+3\cdot {10}^2+8\cdot {10}^1+4\cdot {10}^0$$

Hvert tall i titallssystemet kan vi beskrive på samme måte, og leddene har formen x · 10ⁱ, der x er et siffer fra 0 til 9 — det er ti slike siffer. Verdien i er et ikke-negativt heltall som angir plassverdien. Hvis i = 0, angir leddet enerne, og hvis i = 2, angir det hundrerne (siden 10² = 100).

La oss nå prøve å regne om tallet 7348 fra titallssystemet til, eh…, titallssystemet. Det kommer til å gi mening. Vi deler tallet 7348 på 10:

$$\begin{array}{rcl}7348:10& =734& ⟶8(\text{rest})\\ 734:10& =73& ⟶4\\ 73:10& =7& ⟶3\\ 7:10& =0& ⟶7\end{array}$$

Hvis vi leser restene nedenfra, har vi tallet 7348 — det opprinnelige tallet som vi prøvde å regne om til … det samme systemet.

Hvis vi vil beskrive totallssystemet, gjør vi akkurat det samme — alle leddene får formen x · 2ⁱ, der x er sifferet 0 eller 1. Verdien i angir igjen plassverdien. På samme måte som gjentatt deling på ti gir oss antall plasser i et tall i titallssystemet, gir gjentatt deling på to oss antall plasser i totallssystemet.

Legg samtidig merke til at når vi deler et tall på ti og spør etter resten, ligger denne resten alltid i intervallet [0, 9]. Hvis vi deler et tall på to, kan resten være enten 0 eller 1.

Omregning til andre tallsystemer

Fremgangsmåten for omregning fra titallssystemet til det binære systemet er så generell at den kan brukes på andre systemer også. Hvis vi vil regne om tallet 185 til sekstentallssystemet, deler vi bare på 16:

$$\begin{array}{rcl}185:16& =11& ⟶9(\text{rest})\\ 11:16& =0& ⟶11\end{array}$$

Tallet 185 ville i sekstentallssystemet få formen (11, 9). I stedet for «sifre» over 9 bruker man vanligvis bokstaver, så 10 = A, 11 = B, 12 = C, … Vi kan altså skrive at tallet 185 har formen B9 i sekstentallssystemet.

På tilsvarende måte kan vi regne om tallet B9 fra sekstentallssystemet til titallssystemet.

$$B{9}_{16}=11\cdot {16}^1+9\cdot {16}^0=11\cdot 16+9=185$$