Getallen omrekenen tussen talstelsels

Hoe je getallen uit het tientallige stelsel omrekent naar andere talstelsels en omgekeerd hoe je getallen uit andere stelsels omrekent naar het tientallige.

Wat is een talstelsel

Meestal werken we met het tientallige stelsel. Dit stelsel heeft tien cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Kenmerkend voor het tientallige stelsel is dat als we een getal, bijvoorbeeld 57, met tien vermenigvuldigen, we één plaats opschuiven: we hebben één cijfer meer nodig om dit getal te schrijven: 570.

We kunnen ook andere talstelsels hebben: een achttallig stelsel zou bijvoorbeeld alleen de cijfers 0, …, 7 bevatten. De uitdrukking 7 + 1 zou dan gelijk zijn aan het getal 10, want in het achttallige stelsel hebben we geen cijfer 8. Een zestientallig stelsel zou de cijfers 0, 1, … 14, 15 hebben. Soms gebruiken we in plaats van cijfers die groter zijn dan 9 letters, dus het zestientallige stelsel zou de cijfers 0, …9, A, B, C, D, E, F hebben.

Verrassend genoeg komen we ook in het dagelijks leven andere talstelsels tegen. Bijvoorbeeld de tijd: seconden en minuten tellen we in het zestigtallige stelsel. Elk moment van de dag kunnen we opschrijven als een getal in het zestigtallige stelsel met drie cijfers. Het eerste cijfer geeft de uren aan, het tweede de minuten, het derde de seconden. Als we een dubbele punt als scheidingsteken kiezen, hebben we bijvoorbeeld het getal 14:05:59. Merk op dat als we bij deze tijd één seconde optellen, we niet de tijd 14:05:60 krijgen maar de tijd 14:06:00, omdat 60 geen geldig cijfer van het zestigtallige stelsel is.

Omrekenen van tientallig naar tweetallig stelsel

Stel dat we op papier het getal 70 hebben. Dit getal willen we nu omrekenen naar het tweetallige, binaire stelsel. Het principe is vrij eenvoudig: we delen het getal dat we willen omrekenen steeds door twee, tot we bij nul uitkomen, en we schrijven de resten van de gehele deling op. Als we een getal willen omrekenen naar een ander stelsel, bijvoorbeeld het zestientallige, delen we door zestien. Als we naar het zestallige willen, delen we door zes. In de praktijk ziet het er dus zo uit:

$$\begin{array}{rcl}70:2& =35& ⟶0(\text{rest van de deling})\\ 35:2& =17& ⟶1\\ 17:2& =8& ⟶1\\ 8:2& =4& ⟶0\\ 4:2& =2& ⟶0\\ 2:2& =1& ⟶0\\ 1:2& =0& ⟶1\end{array}$$

Het getal in het tweetallige stelsel wordt gegeven door de resten van de delingen. We nemen de resten echter niet van boven, maar van onder. Het getal 70 in het binaire stelsel is dus 1000110.

Omrekenen van tweetallig naar tientallig stelsel

Andersom rekenen we zo om. Neem het getal 1100010 en reken het om naar het tientallige stelsel. Deze richting is eenvoudiger: we hoeven alleen deze som uit te rekenen:

$${1100010}_2=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0$$

Elke term heeft de vorm x · 2ⁱ, waarbij x een cijfer van het oorspronkelijke binaire getal is en i van rechts af steeds met één toeneemt. Omdat we het getal 1100010 omrekenen, ziet deze som er zo uit:

$${1100010}_2=\boxed{\text{1}}\cdot 2^6+\boxed{\text{1}}\cdot 2^5+\boxed{\text{0}}\cdot 2^4+\boxed{\text{0}}\cdot 2^3+\boxed{\text{0}}\cdot 2^2+\boxed{\text{1}}\cdot 2^1+\boxed{\text{0}}\cdot 2^0$$

Het getal 1100010 heeft zeven cijfers, dus de exponenten van het getal twee zijn achtereenvolgens 6, 5, …, 1, 0. Na het machtsverheffen en vermenigvuldigen krijgen we de uitdrukking:

$${1100010}_2=64+32+2=98.$$

Waarom werkt deze werkwijze?

We kunnen het laten zien aan het tientallige stelsel. Wat betekenen de cijfers in een getal eigenlijk, bijvoorbeeld in het getal 7384? Het cijfer 4 geeft het aantal eenheden aan, het cijfer 8 het aantal tientallen, het cijfer 3 het aantal honderdtallen en het cijfer 7 het aantal duizendtallen. We kunnen dus schrijven dat

$$7384=7\cdot 1000+3\cdot 100+8\cdot 10+4\cdot 1$$

Deze uitdrukking kunnen we nog zo aanpassen dat we niet de getallen 100, 10 en 1 gebruiken, maar dat er steeds een macht van tien staat. Omdat 10⁰ = 1 en 10¹ = 10 enzovoort, kunnen we schrijven

$$7384=7\cdot {10}^3+3\cdot {10}^2+8\cdot {10}^1+4\cdot {10}^0$$

Elk getal in het tientallige stelsel kunnen we op dezelfde manier beschrijven, waarbij de afzonderlijke termen de vorm x · 10ⁱ hebben, waarbij x een cijfer van 0 tot 9 is: er zijn tien van die cijfers. De waarde i is dan een niet-negatief geheel getal dat de plaats aangeeft. Als i = 0, dan geeft de term de eenheden aan, als i = 2, dan geeft hij de honderdtallen aan (want 10² = 100).

Laten we nu proberen het getal 7348 om te rekenen van het tientallige stelsel naar, eh…, het tientallige stelsel. Het zal zin hebben. We delen het getal 7348 door 10:

$$\begin{array}{rcl}7348:10& =734& ⟶8(\text{rest van de deling})\\ 734:10& =73& ⟶4\\ 73:10& =7& ⟶3\\ 7:10& =0& ⟶7\end{array}$$

Als we de resten van onder naar boven lezen, hebben we het getal 7348: het oorspronkelijke getal waarmee we begonnen, dat we naar … hetzelfde stelsel probeerden om te rekenen.

Als we het tweetallige stelsel willen beschrijven, doen we dat precies hetzelfde: alle termen hebben de vorm x · 2ⁱ, waarbij x het cijfer 0 of 1 is. De waarde i geeft weer de plaats aan. Zoals het herhaald delen door tien ons de cijfers op de afzonderlijke plaatsen van het getal in het tientallige stelsel geeft, zo geeft het herhaald delen door twee ons de cijfers op de afzonderlijke plaatsen in het tweetallige stelsel.

Merk tegelijk op dat als we een getal door tien delen en naar de rest vragen, die rest altijd in het interval [0, 9] ligt. Als we een getal door twee delen, kan de rest 0 of 1 zijn.

Omrekenen naar andere stelsels

De vorige werkwijze voor het omrekenen van het tientallige naar het binaire stelsel is zo universeel dat je haar ook voor andere stelsels kunt gebruiken. Als we het getal 185 naar het zestientallige stelsel willen omrekenen, delen we gewoon door 16:

$$\begin{array}{rcl}185:16& =11& ⟶9(\text{rest van de deling})\\ 11:16& =0& ⟶11\end{array}$$

Het getal 185 zou in het zestientallige stelsel de vorm (11, 9) hebben. In plaats van “cijfers” boven 9 worden meestal letters gebruikt, dus 10 = A, 11 = B, 12 = C, … We kunnen dus schrijven dat het getal 185 in het zestientallige stelsel de vorm B9 heeft.

Op dezelfde manier kunnen we het getal B9 uit het zestientallige stelsel omrekenen naar het tientallige.

$$B{9}_{16}=11\cdot {16}^1+9\cdot {16}^0=11\cdot 16+9=185$$