Trigonometrik Fonksiyonlar

Bu yazıda trigonometrik fonksiyonları ele alacağım. Trigonometri sözcüğü Yunancadan gelir: trigon “üçgen”, metron “ölçme” demektir. Dört temel trigonometrik fonksiyon vardır — sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant.

Üçgenle İlgili Temel Kavramlar

Trigonometrik fonksiyonlar üçgendeki açılarla çalışır; bu yüzden bu bölümde üçgenle ilgili kavramları tekrar edelim.

Şekilde A, B ve C köşelerinden oluşan bir üçgen görüyorsun; yani bu ABC üçgeni. Üç kenarı var: AB, BC, AC. Ayrıca bu kenarların küçük harflerle de adlandırıldığına dikkat et. Bu adlandırmanın bir kuralı var — A köşesinin karşısındaki kenar a kenarıdır. B köşesinin karşısında b kenarı, C köşesinin karşısında c kenarı bulunur. Yani her kenar, karşısındaki köşenin adını alır; o köşeyi oluşturmayan kenardır.

Her üçgenin üç iç açısı vardır; bunları genellikle Yunan harfleri alfa α, beta β ve gama γ ile gösteririz. Üç iç açının toplamı her zaman 180°’dir. Genellikle A köşesinde alfa açısı, B köşesinde beta açısı, C köşesinde gama açısı bulunur.

Trigonometrik fonksiyonları herhangi bir üçgende de bir şekilde kullanabilsek de çoğunlukla yalnızca dik üçgenle çalışırız. Dik üçgen, bir açısı dik, yani 90° olan üçgendir. Örneğin şöyle görünür:

Dik üçgenin kenarlarının özel adları vardır. En uzun kenar dik açının karşısında bulunur ve hipotenüs adını alır (şekilde mavi kenar). İki kısa kenara dik kenar denir (kırmızı kenarlar). Bu yazıda en çok bu üçgenle ilgileneceğiz.

Üçgende Dik Kenarların Adlandırılması

İlk trigonometrik fonksiyona, sinüs fonksiyonuna geçelim. Bütün trigonometrik fonksiyonlar, üçgendeki bir açı ile iki kenarın uzunluklarının oranı arasındaki ilişkiyi gösterir. Bu açı genellikle dik açı değil, geri kalan iki açıdan biridir. Yani trigonometrik fonksiyona giren değer açının ölçüsü, çıkan değer ise iki kenarın oranıdır. Fonksiyonlar, hangi kenarlarla çalıştıklarına göre birbirinden ayrılır.

Sinüs fonksiyonu karşı dik kenar ve hipotenüsle çalışır. Verilen bir açıya göre hangi kenarın komşu, hangisinin karşı dik kenar olduğunu aşağıdaki şekil gösteriyor.

Şekilde beta açısıyla, yani B köşesindeki açıyla çalışıyoruz. Siyah kenar hipotenüstür, o değişmez. Kırmızıyla işaretlenen c kenarı beta açısına yaslandığı için komşu dik kenardır. Maviyle işaretlenen b kenarı beta açısının karşısında olduğu için karşı dik kenardır. Önemli olan, bu kavramların her zaman bir açıya göre belirlenmesidir. Şekle gama açısına göre bakarsak şu sonucu elde ederiz:

Sinüs Fonksiyonu

Alfa açısının sinüsü, karşı dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına eşittir. Bu ne demek? Alfa açısının sinüsünü (örneğin hesap makinesiyle) hesaplarsak şu oranın değerini elde ederiz

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Karşı dik kenarın uzunluğu}}{\text{Hipotenüsün uzunluğu}}$$

Bunu şu üçgende ve beta açısında deneyelim: Güzel bir üçgen: kenar uzunlukları |a| = 5, |b| = 3 ve |c| = 4. Beta açısının karşı dik kenarı b kenarı, hipotenüs ise a kenarıdır. b/a oranını, yani 3/5’i hesaplarız; bu da 0,6 eder. Yani beta açısının sinüsü 0,6’ya eşittir. Beta açısının ölçüsü 36° 52′ kadardır; bu açıyı hesap makinesine girip sinüsünü hesaplarsan (küçük bir yuvarlamadan sonra) tam olarak 0,6 elde edersin.

Bu Ne İşe Yarar

Bir açıyı ve bir kenarın uzunluğunu biliyorsan, geri kalan kenarları hesaplaman gerektiğinde işine yarar.

Önce neleri bildiğimizi yazalım. Alfa açısını biliyoruz. Bu açının sinüsünün, karşı dik kenarın (a kenarı) hipotenüse (b kenarı) oranına eşit olduğunu biliyoruz. Matematiksel olarak yazarsak:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Açının sinüsünü biliyoruz, daha doğrusu hesaplayabiliriz; a kenarının uzunluğunu da biliyoruz. Bilmediğimiz tek şey b kenarının uzunluğu. Bu değişkeni yalnız bırakmaya çalışacağız. Önce denklemin iki tarafını b kenarının uzunluğuyla çarparız. Şunu elde ederiz

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

ve şimdi denklemi sin(α) ile bölersek, b kenarının uzunluğunu sol tarafta bırakan istediğimiz biçimi elde ederiz:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

a kenarının uzunluğunu biliyoruz, üçe eşit. 30°’nin sinüsü 0,5’e eşittir. Yerine yazalım:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

b kenarının uzunluğu altıdır.

Kosinüs Fonksiyonu

Kosinüs, sinüse çok benzer. Kosinüs fonksiyonuyla ilgili terimler bir önceki bölümdekiyle aynıdır, o yüzden doğrudan tanıma geçelim:

Alfa açısının kosinüsü, komşu dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına eşittir. Yani hesap makinesiyle alfa açısının kosinüsünü hesaplarsak şu oranın değerini elde ederiz

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{Komşu dik kenarın uzunluğu}}{\text{Hipotenüsün uzunluğu}}.$$

Sinüs ile kosinüs arasındaki farkı aşağıdaki şekil açıkça gösteriyor:

Her iki fonksiyon da üçgenin hipotenüsüyle çalışır, o siyah kalır. Sinüs karşı dik kenarla çalışır; alfa açısına göre bu kırmızı BC kenarıdır. Kosinüs komşu dik kenarla çalışır; bu da mavi AB kenarıdır.

Önceki bölümde anlatılan örneğe dönelim. a kenarının uzunluğunu bilerek hipotenüsün uzunluğunu hesaplamıştık. Şimdi alfa açısını ve az önce bulduğumuz hipotenüsün uzunluğunu, yani b = 6’yı bilerek c kenarının uzunluğunu hesaplayalım.

Neleri biliyoruz? Alfa açısının ölçüsü 30°, b kenarının uzunluğu altıya eşit ve kosinüs bize komşu dik kenarın hipotenüse oranını verir. Komşu dik kenar, uzunluğunu bulmak istediğimiz c kenarıdır. Yazalım:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Denklemden |c| ifadesini yalnız bırakmamız gerekiyor. Bunun için denklemi b kenarının uzunluğuyla çarparız; böylece sağ tarafta yalnızca c kenarının uzunluğu kalır:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

Tarafların yerini değiştirelim:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

Sağ tarafta ya bildiğimiz ya da hesaplayabildiğimiz ifadeler var. 30°’nin kosinüsü yaklaşık 0,866’dır. Denklemde yerine yazalım:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Bu, c kenarının uzunluğudur. İleride göreceğimiz gibi 30°’nin kosinüsü bir tablo değeridir ve şuna eşittir

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

bu yüzden önceki uzunluğu daha kesin olarak yazabiliriz:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tanjant ve Kotanjant

Bir de iki trigonometrik fonksiyon daha var: tanjant ve kotanjant. Önceki fonksiyonlardan temel farkları, tanjant ve kotanjantın yalnızca dik kenarlarla çalışması, hipotenüsle çalışmamasıdır.

Alfa açısının tanjantı, karşı dik kenarın uzunluğunun komşu dik kenarın uzunluğuna oranına eşittir. Tanjant genellikle tan ile gösterilir.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Karşı dik kenarın uzunluğu}}{\text{Komşu dik kenarın uzunluğu}}$$

Alfa açısının kotanjantı, komşu dik kenarın uzunluğunun karşı dik kenarın uzunluğuna oranına eşittir. Kotanjant genellikle cot ile gösterilir.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Komşu dik kenarın uzunluğu}}{\text{Karşı dik kenarın uzunluğu}}$$

Terminoloji yine önceki bölümlerdekiyle aynıdır, fonksiyonlarla çalışma da öyle. Önceki örneğe dönelim ve yalnızca alfa açısının ölçüsünü ve a = 3 olan a kenarının uzunluğunu bilerek c kenarının uzunluğunu hesaplamaya çalışalım.

Tanjant, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır; matematiksel olarak şöyle yazılır:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

c kenarının uzunluğunu hesaplamamız gerekiyor, o hâlde bu denklemden |c| ifadesini yalnız bırakmalıyız. Önceki örneklerdeki gibi |c| ile çarpıp tan(α) ile böleriz.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Sağ tarafta yerine yazalım; 30°’nin tanjantı yaklaşık 0,5773’tür.

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

30°’nin tanjantı için bir tablo değeri vardır:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

bu yüzden önceki hesabı kesin olarak yapabiliriz:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Özel Açıların Trigonometrik Değerleri

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant, bazı güzel açılar için güzel değerler alır. İşte temel bir özet:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Bağlantılar

Sitedeki ilgili kavramlar:

• Yönlü açı
• Radyan