Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Temel trigonometrik fonksiyonların anlamlı olması için ters fonksiyonlarını da tanımlamamız gerekir. Bunlara arc fonksiyonları denir; yani arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant. Kısaca arcsin, arccos, arctan ve arccot olarak da yazılır.

Motivasyon

Bir örnekle başlayalım. Alfa açısının ölçüsünü hesapla:

Üçgendeki iki kenarın uzunluğunu biliyoruz: b = 3 ve a = 6. Alfa açısını hesaplamamız gerekiyor — a kenarı hipotenüs, b kenarı ise alfa açısının karşı dik kenarıdır. Karşı dik kenarla sinüs fonksiyonu çalışır; daha doğrusu alfa açısının sinüsü, karşı dik kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına eşittir. O hâlde formülde yerine yazmayı deneyelim:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Artık alfa açısının sinüsünün $\frac{1}{2}$ olduğunu biliyoruz. Soru, bu sayıdan açıyı nasıl elde edeceğimiz. Bunun için sinüs fonksiyonunun ters fonksiyonuna ihtiyacımız var. Sinüs fonksiyonu girdi olarak bir açı alır ve bize iki kenarın oranını verir. Oysa şimdi bir oran verdiğimizde açıyı veren bir fonksiyona ihtiyacımız var.

Arc fonksiyonları tam olarak bunu çözer. Arc fonksiyonlarının ne olduğunu düzgünce tanımlamadan önce örneği Google yardımıyla bitirelim; Google’a göre 1/2’nin arksinüsü 30°’dir. Aynı örneği hesap makinesinde hesaplamak istersen, orada arksinüs çoğu zaman sin⁻¹ olarak gösterilir.

Sinüsün Ters Fonksiyonu Var mı?

Önce sinüs fonksiyonunun grafiğine bak:

Şimdi fonksiyonlarla ilgili bazı özellikleri tekrar edelim. Bir f fonksiyonunun ters fonksiyonunun olması için bire bir olması gerekir. Bu ne demek? Tanım kümesinden iki farklı x₁ ve x₂ elemanı aldığımızda, bunların görüntüleri f(x₁) ve f(x₂) farklı olmalıdır. Bu, tüm olası ikililer için geçerli olmalıdır. Bunu grafikten kolayca okuyabiliriz — x eksenine paralel olan ve f fonksiyonunun grafiğini birden fazla noktada kesen bir doğru çizebiliyorsak, bu fonksiyon bire bir değildir.

Sinüs fonksiyonu için böyle bir doğru bulabildiğimiz açıktır. Örneğin x ekseninin kendisi sinüs grafiğini birden fazla noktada, daha doğrusu sonsuz sayıda noktada keser. Bu yüzden sinüs fonksiyonu bire bir değildir ve dolayısıyla onun ters fonksiyonu yoktur.

Sinüs Fonksiyonunun Kısıtlanmasının Ters Fonksiyonu

Önceki bölümden sinüs fonksiyonunun ters fonksiyonu olmadığını biliyoruz. Ama ilk bölümden, tam istediğimiz gibi davranan bir arcsin fonksiyonunun var olduğunu da biliyoruz. Bunu nasıl başardık? Sinüs fonksiyonunun yalnızca bire bir olan bir kısmını seçtik ve böylece fonksiyonun bu kısıtlanmasına bir ters fonksiyon tanımlayabildik.

Sinüs fonksiyonunu, tanım kümesini daraltarak kısıtlarız. Orijinal tanım kümesinin (gerçek sayılar) hangi alt kümesini seçmeliyiz? Birçok alt küme seçebiliriz ama en iyi seçim şu aralıktır

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Bu aralık aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:

Bu tanım kümesinde artık ters fonksiyonu tanımlayabiliriz, çünkü bu aralıkta sinüs fonksiyonu bire birdir. Ters fonksiyonun grafiği, asıl fonksiyonun grafiğiyle I. ve III. bölgenin açıortayına göre simetriktir; dolayısıyla sin(x) fonksiyonunun bu kısıtlanmasına ters olan fonksiyonun grafiğini çizebiliriz. Şekle bak:

Mavi renkle asıl sinüs çizilmiştir. Kırmızıyla, ters fonksiyonunu aradığımız kısım vurgulanmıştır. Yeşil renkle ise arcsin ya da kısaca asin olarak gösterdiğimiz ters fonksiyon çizilmiştir.

arcsin Fonksiyonunun Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi

Bu iki fonksiyon üzerinde tanım kümesi ile görüntü kümesinin yer değiştirmesini güzelce gösterebiliriz. Aşağıdaki şekle bak; aynı grafikler aynı renklerle çizilmiş, yalnızca biraz büyütülmüş ve bazı çizgiler ile noktalar eklenmiş:

Sinüs fonksiyonunun kısıtlanmasının tanım kümesinin (kırmızı çizgi) şu aralık olduğuna dikkat et

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu tüm x değerleridir. Biz fonksiyonu bire bir olsun diye yalnızca bu aralık için tanımladık. Grafikte bu x değerlerini x ekseninde ararız.

Şimdi arcsin fonksiyonunun görüntü kümesine (yeşil çizgi) bak. Görüntü kümesi, fonksiyonun çıktı olarak verebileceği tüm y değerleridir; yani onları y ekseninde ararız. arcsin fonksiyonunun görüntü kümesi de yine şu aralıktır

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Bu, ters fonksiyonların genel bir özelliğidir, yani kimseyi şaşırtmamalı. Aynısı sinüs fonksiyonunun kısıtlanmasının görüntü kümesi ve arcsin fonksiyonunun tanım kümesi için de geçerlidir. Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi −1’den 1’e kadar olan aralıktır. Sinüs yalnızca bu değerleri verebilir, hiçbir açının sinüsü 1’den büyük ya da −1’den küçük değildir. Hiçbir açının sinüsü 1’den büyük olamayacağı için ters fonksiyonun da girdi olarak 1’den büyük bir değer alamaması mantıklıdır. Bu yüzden arcsin fonksiyonunun tanım kümesi de [−1, 1] aralığıdır.

Arkkosinüs

Şimdi kısaca kosinüsün ters fonksiyonuna geçelim. Sinüs fonksiyonuyla aynı nedenle burada da ters fonksiyon yoktur, çünkü fonksiyon bire bir değildir. Yine de tanım kümesinin bir alt kümesini seçip bire bir olan bir fonksiyon elde edebiliriz.

Mavi renkle kosinüs fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir; kırmızı kısım ise bu fonksiyonun [0, π] tanım kümesine kısıtlanmasıdır. Yeşil çizgi, kosinüs fonksiyonunun bu kısıtlanmasının ters fonksiyonu olan arccos(x) fonksiyonunun grafiğidir.

Arktanjant

Tanjant fonksiyonunun grafiği şöyle görünür:

Grafik önceki fonksiyonlardan farklı bir şekle sahip ama yine bire bir değil. Yine de bu fonksiyonu kısıtlayıp bire bir olacak bir kısmını seçebiliriz. Şu açık aralığı seçeriz

$$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

Ters fonksiyon şu biçimdedir:

Arkkotanjant

Her şey önceki paragraflardaki gibi. Kotanjant fonksiyonunun grafiği: Kotanjant fonksiyonunun kısıtlanmasının tanım kümesi (0, π) açık aralığı olacak.