Vektorit

Vektori on suure, jolla on suuruuden lisäksi myös suunta. Siinä se eroaa tavallisesta luvusta eli skalaarista, jolla on vain suuruus.

Suunnattu jana

Tasossa on kaksi eri pistettä A, B. Pisteiden välille voidaan vetää jana. Sellainen jana merkitään yleensä AB, ja pisteiden järjestyksellä ei ole väliä: jana AB on täsmälleen sama kuin jana BA.

Aina tämä ei riitä, ja siksi otetaan käyttöön suunnattu jana, jossa erotetaan toisistaan alkupiste ja loppupiste. Suunnatun janan AB alkupiste on A ja loppupiste B. Kuvassa suunnattu jana piirretään nuolena, ja tekstissä se merkitään pisteiden päälle piirretyllä nuolella: $\overrightarrow{AB}$. Esimerkki:

Sinisellä on piirretty jana AB ja punaisella suunnattu jana $\overrightarrow{CD}$. Jos suunnatulle janalle $\overrightarrow{AB}$ pätee A = B, sitä sanotaan suunnatuksi nollajanaksi. Sen alku- ja loppupiste ovat samat, joten sitä tuskin edes kutsuisi janaksi, koska se on oikeastaan vain yksi piste.

Suunnatun janan pituus on sama kuin tavallisen janan pituus. Pätee $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Suunnatun janan suunta

Katso seuraavia kahta suunnattua janaa $\overrightarrow{AB}$ ja $\overrightarrow{CD}$:

Jo ensi silmäyksellä näkee, että suunnatuilla janoilla on sama suunta. Vaikka käsitteen ”suunta” voisi määritellä tarkasti, pysytään mieluummin sen intuitiivisessa ymmärtämisessä. Yksinkertaisesti sanottuna suunnatuilla janoilla on sama suunta, jos ne ovat yhdensuuntaiset eikä toinen osoita vastakkaiselle puolelle kuin toinen. Kaikki nämä suunnattujen janojen parit ovat samansuuntaisia:

Viimeiset, vihreät janat ovat suunnatut janat $\overrightarrow{IJ}$ ja $\overrightarrow{IK}$. Seuraavassa on esimerkki janapareista, jotka eivät ole samansuuntaisia:

Mikä vektori on

Palataan kuvaan, jossa on kaksi samansuuntaista suunnattua janaa:

Näemme, että näillä suunnatuilla janoilla ei ole vain sama suunta vaan myös sama pituus. Ainoa ero on se, että ne sijaitsevat eri paikoissa. Sellaiset suunnatut janat, joilla on sama suunta ja sama pituus, esittävät yhtä ja samaa vektoria.

Yksi vektori voidaan siis piirtää tasoon (avaruuteen…) äärettömän monella tavalla: riittää valita mikä tahansa suunnattu jana, jolla on sama suunta ja pituus kuin annetulla vektorilla. Seuraavat suunnatut janat esittävät kaikki yhtä vektoria:

Vektorin määräävät vain sen pituus ja suunta. Vektorin pituus ja suunta ovat samat kuin sitä esittävän suunnatun janan pituus ja suunta. Vektori merkitään yleensä kirjaimella, jonka päällä on viiva, tai suunnatun janan tapaan nuolella. Meillä voi siis olla vektori $\overline{AB}$ tai lyhyemmin vektori $\overline{u}$.

Yksittäinen suunnattu jana taas esittää vektorin sijaintia. Edellisessä kuvassa on yhteensä 7 suunnattua janaa, ja jokainen niistä määrää vektorille eri sijainnin. Suunnatut janat $\overrightarrow{AB}$ ja $\overrightarrow{MN}$ esittävät samaa vektoria, olkoon se $\overline{v}$, mutta ne ovat vektorin $\overline{v}$ kaksi eri sijaintia.

Yhdensuuntaiset vektorit

Olkoon meillä kaksi vektoria $\overline{u},\overline{v}$. Sanomme, että nämä vektorit ovat yhdensuuntaiset eli kollineaariset, jos niitä esittävät suunnatut janat ovat yhdensuuntaiset. Vektorien $\overline{u},\overline{v}$ ei tarvitse olla yhtä pitkiä. Suunnan täytyy olla joko sama tai vastakkainen. Esimerkkejä yhdensuuntaisista vektoreista:

Kaikki punaiset vektorit ovat yhdensuuntaisia. Suunnalla ei tässä ole merkitystä: ei ole väliä, osoittaako vektori oikealle ylös vai vasemmalle alas. Sininen vektori $\overrightarrow{GH}$ ei ole yhdensuuntainen.

Jos yhdensuuntaisilla vektoreilla on kuitenkin sama suunta, sanomme, että ne ovat samansuuntaiset, ja jos niiden suunta ei ole sama, ne ovat vastakkaissuuntaiset. Palataan edelliseen kuvaan: vektorit $\overrightarrow{AB}$ ja $\overrightarrow{EF}$ ovat samansuuntaiset, vektorit $\overrightarrow{AB}$ ja $\overrightarrow{KL}$ ovat vastakkaissuuntaiset.

Vektorin koordinaatit

Tiedämme jo, että yksi vektori voidaan esittää äärettömän monella suunnatulla janalla. Yksi näistä janoista alkaa koordinaatiston origosta, eli pisteestä (0, 0) tasossa ja pisteestä (0, 0, 0) avaruudessa. Katso seuraavaa kuvaa:

Suunnatuilla janoilla $\overrightarrow{AB}$ ja $\overrightarrow{CD}$ on sama suunta ja sama pituus, ne ovat siis yksi vektori. Jana $\overrightarrow{CD}$ lähtee koordinaatiston origosta, ja pisteen C koordinaatit ovat (0, 0). Sama pätee janapariin $\overrightarrow{EF}$ ja $\overrightarrow{KL}$.

Kun tiedämme, että janat $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ lähtevät origosta, voimme sopia, että nämä vektorit merkitään pelkällä loppupisteellä. Alkupiste on sama (koordinaatiston origo), joten janojen $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ erottamiseen riittää, että kirjoitamme ylös niiden loppupisteet.

Sanomme, että vektorin $\overrightarrow{AB}$ ja siis myös vektorin $\overrightarrow{CD}$ koordinaatit ovat (3, 1), jotka ovat pisteen D eli janan $\overrightarrow{CD}$ loppupisteen koordinaatit. Vektorin $\overrightarrow{KL}$ koordinaatit ovat sitten (−1, 4), pisteen F koordinaatit.

Vektorin koordinaattien laskeminen

Katsotaan nyt, miten vektorin koordinaatit määritetään laskemalla. Lähdetään siitä, että tunnemme vektorin $\overline{u}$ määräävien pisteiden A, B koordinaatit. Olkoon siis vektori $\overline{u}$ määrätty pisteillä A = (2, 3) ja B = (5, 4). Se on edellisessä kuvassa ylempänä oleva punainen vektori. Miten löydämme pisteen D koordinaatit, eli sen suunnatun janan loppupisteen, joka esittää vektoria $\overline{u}$ ja alkaa origosta?

Siirrämme koko janan $\overrightarrow{AB}$ origoon. Jotta piste A saadaan origoon, sitä täytyy siirtää 2 ruutua vasemmalle ja 3 ruutua alas. Sama tehdään pisteelle B. Toisin sanoen molemmista pisteistä A ja B vähennetään pisteen A koordinaatit. Näin jana $\overrightarrow{AB}$ siirtyy paikkaan, johon jana $\overrightarrow{CD}$ on piirretty. Voimme kirjoittaa:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

Vektorin $\overline{u}$ koordinaatit ovat siis (3, 1), sellaisen suunnatun janan loppupiste, jonka alkupiste on origossa.

Voimme kirjoittaa, että jos vektori $\overline{u}$ on määrätty pisteillä A = (x₁, y₁) ja B = (x₂, y₂), vektorin $\overline{u}$ koordinaatit saadaan laskemalla:

$$B-A=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

Vektorin $\overline{u}$ koordinaatit kirjoitetaan kaarisulkeisiin, joten edellisen vektorin $\overline{u}$ koordinaatit kirjoitettaisiin näin: $\overline{u}=(3,1)$.

Voimme vielä palata kuvaan ja laskea vektorin $\overrightarrow{KL}$ koordinaatit. Pisteiden K ja L koordinaatit ovat K = (−2, 1), L = (−3, 5). Vektorin koordinaateiksi tulee

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=(-1,4)$$

Näemme, että saimme oikein pisteen F koordinaatit.

Vektorin pituuden laskeminen

Kun vektorin koordinaatit tunnetaan, sen pituuden voi laskea helposti. Pythagoraan lauseen avulla on melko helppo johtaa, että tason vektorin, jonka koordinaatit ovat $\overline{u}=(u_1,u_2)$, pituus on

$$|\overline{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

Seuraavasta kuvasta nähdään, että vektorin koordinaatit vastaavat muodostamamme kolmion sivujen pituuksia ja että Pythagoraan lausetta soveltamalla vektorin pituus todella lasketaan vaivatta.

Jos vektori on $\overline{u}=(2,4)$, sen pituus on

$$|\overline{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Seuraavaksi on kaksi tehtävää opitun harjoitteluun.

1. Määritä vektorin $\overline{u}$ koordinaatit, kun vektori on määrätty pisteillä A = (3, 7), B = (−1, 0). Tässä ratkaisu on täysin yksinkertainen ja suoraviivainen. $\overline{u}=(u_1,u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Vektorin koordinaatit ovat siis $\overline{u}=(-4,-7)$

2. Tiedämme, että vektorin $\overline{u}$ koordinaatit ovat $\overline{u}=(2,3)$ ja että se on määrätty pisteillä A = (6, 6) ja B = (x₁, y₁), eli $\overline{u}=\overrightarrow{AB}$. Määritä pisteen B koordinaatit.

   Muodostetaan jälleen vanha tuttu yhtälömme ja ratkaistaan siitä tuntematon:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Toinen koordinaatti saadaan samalla tavalla:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Pisteen B koordinaatit ovat (8, 9).