Pisagor Teoremi

Pisagor teoremi, belki de matematiğin en ünlü teoremidir. Samoslu Pisagor’un kendisi hakkında başka bir yerde okuyabilirsin. Şimdi üçgenlere dalalım.

Üçgenin Kenarı Üzerine Çizilen Karenin Alanı

Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenarları üzerine çizdiğimiz karelerin alanları arasında işimize yarayan bir bağıntı verir. Elimizde şu dik üçgen olsun:

Arka plandaki kareli kâğıt, üçgenin ölçülerini gösterir. AC dik kenarının uzunluğu 4, BC dik kenarının uzunluğu 3’tür. Peki AB kenarının, yani hipotenüsün uzunluğu kaçtır? İlk bakışta uzunluğu göremeyiz. Ama hesaplamayı deneyebiliriz.

Önce BC dik kenarı üzerine bir kare çizeriz. Bununla kastedilen, bütün kenarlarının uzunluğu BC kenarının uzunluğuna, yani üçe eşit olan bir kare çizmektir. Şekle şöyle çizeriz:

Bütün kenarlarının uzunluğu 3 olan BCDE karesi oluştu. Böyle bir karenin alanı kaçtır? Karenin alanını, iki kenarının uzunluğunu çarparak buluruz; yani BCDE karesinin alanı 3 · 3 = 9’dur. Şimdi diğer dik kenar, yani AC dik kenarı üzerine de bir kare çizelim. Bu karenin kenar uzunluğu 4 olacak.

Bu karenin alanı 4 · 4 = 16’dır. Şimdi son kareyi, hipotenüs olan AB üzerine çizelim:

AB kenarının uzunluğunu bilmediğimiz için bu yeni karenin alanını henüz bilmiyoruz. Ama burada Pisagor teoreminden yararlanabiliriz. Teoreme göre, bu son karenin, yani ABHI karesinin alanı, önceki iki karenin alanları toplamına eşittir. İlk iki karenin alanları 9 ve 16 idi; Pisagor teoremine göre son karenin alanı 9 + 16 = 25’tir. Şekle yazalım:

Şimdi geriye son soruyu yanıtlamak kalıyor: ABHI karesinin alanı 25 ise bu karenin kenar uzunluğu kaçtır? 25’in karekökü olmalı; yani AB kenarının uzunluğu $\sqrt{25}=5$’tir. Doğrulamak için kenar uzunluğu 5 olan karenin alanını hesaplarsak 5 · 5 = 25 buluruz. Artık sayılara ve tanımlara geçebiliriz.

Teoremin İfadesi

Pisagor teoremi şöyle der: “Bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine çizilen karenin alanı, dik kenarları üzerine çizilen karelerin alanları toplamına eşittir.” Matematiksel olarak bu teorem genellikle şöyle yazılır:

$$c^2=a^2+b^2,$$

burada a ve b, üçgendeki dik kenarların uzunlukları, c ise hipotenüsün uzunluğudur.

Peki Pisagor teoremi ne söylüyor ve bu yazılış önceki şekille nasıl ilişkili? Üçgenin bir kenarı üzerine çizilen karenin alanı demek, kenar uzunluğu o kenarın uzunluğuna eşit olan bir kare alıp alanını hesaplamak demektir. Karenin alanını, bir kenarının uzunluğunu diğer kenarının uzunluğuyla çarparak buluruz; yani kenarın uzunluğu c ise alan A_kare şuna eşittir: A_kare = c · c. Bunu üslü ifadelerle A_kare = c² diye yazabiliriz.

Demek ki c² = a² + b² yazılışını tam olarak şöyle okuyabiliriz: “Kenar uzunluğu c olan karenin alanı, kenar uzunlukları a ve b olan karelerin alanları toplamına eşittir.”

Bir kez daha vurgulayayım: teorem yalnızca dik üçgende geçerlidir, her üçgende değil. Pisagor teoremi genellikle iki kenarın uzunluğunu bildiğin ve kalan kenarın uzunluğunu hesaplaman gereken durumlarda kullanılır. Yani iki dik kenarın a ve b uzunluklarını biliyor ve hipotenüsün c uzunluğunu bulmak istiyorsak, önce dik kenarlar üzerindeki karelerin alanlarını, yani a² + b² toplamını hesaplarız. Böylece c hipotenüsü üzerindeki karenin alanını, yani c²’yi buluruz. c kenarının uzunluğunu bulmak için bu alanın karekökünü almak yeterlidir. Şu formülü elde ederiz:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

burada c hipotenüsün, a, b ise dik kenarların uzunluğudur. Tersine, hipotenüsün ve bir dik kenarın uzunluğunu biliyor, kalan dik kenarın uzunluğunu bulmak istiyorsak aynı şekilde hesaplarız; yalnızca önce dik kenarlardan birini denklemde yalnız bırakırız. Yani c ve b biliniyorsa ve a’yı bulmak istiyorsak,

$$c^2=a^2+b^2$$

denkleminde b²’yi çıkararak a²’yi yalnız bırakırız:

$$c^2-b^2=a^2,$$

eşitliğin sol ve sağ taraflarının yerini değiştiririz:

$$a^2=c^2-b^2$$

ve son olarak karekök alırız:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Birinci Örnek

Üç kenarından ikisinin uzunluğunu bildiğimiz bir ABC üçgenimiz olsun: a = 3 ve b = 4. Bu, başta kullandığımız üçgenin aynısı. Soru şu: Kalan kenarın, yani c kenarının uzunluğu kaçtır? Verilen formülle hesaplamayı deneyelim. Üçgeni aşağıdaki şekil gösteriyor:

İki dik kenarın uzunluğunu bildiğimizi, hipotenüsün uzunluğunun eksik olduğunu görüyoruz. Bu yüzden ilk, düzenlenmemiş formülü kullanırız:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

a ve b değişkenlerinin yerine kenar uzunluklarını yazalım:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

Formülde kare var. Hatırlatma olarak şu bağıntı geçerlidir:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Karelerini hesaplayınca şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Sonuç olarak c kenarının uzunluğu 5’e eşittir.

İkinci Örnek

Bu örnekte, dik kenarlardan birinin uzunluğunu ve hipotenüsün uzunluğunu bildiğimizde diğer dik kenarın uzunluğunu hesaplamayı deneyeceğiz. Kenar uzunlukları |AC| = 10 ve |BC| = 6 olan bir ABC üçgenimiz var. Üçgeni aşağıdaki şekil gösteriyor:

Şekilden hipotenüsün, yani en uzun kenarın |AC| kenarı olduğunu görüyoruz. |AB| kenarının uzunluğunu hesaplamamız gerekiyor. Dik kenarın uzunluğunu hesaplamaya yarayan ikinci formülde yerine yazalım:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Pisagor teoremini doğru kullanmak için şimdi hangi değişkenin neyi gösterdiğini düşünmeliyiz. Bu formülde a değişkeni, hesaplamak istediğimiz kenarın uzunluğudur; bizim örneğimizde |AB| kenarı. c değişkeni hipotenüsün, yani en uzun kenarın uzunluğudur; bizim örneğimizde |AC| kenarı. b değişkeni ise uzunluğunu bildiğimiz dik kenarın uzunluğudur; bizim örneğimizde |BC|. Bu yüzden formülde şöyle yerine yazarız:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

Bildiğimiz kenar uzunluklarını yazalım:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

Kareleri hesaplayıp çıkaralım:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

Son olarak karekök alalım:

$$|AB|=8$$

|AB| kenarının uzunluğu 8’e eşittir.

Problem

Düz bir yoldan arkadaşının evine gittiğini düşün. Bu yolun uzunluğu 250 metre. Bu çeyrek kilometrenin sonunda sola dönüp 100 metre daha yürüyorsun ve yakın arkadaşının evine varıyorsun. Soru şu: Tarlanın üzerinden doğrudan gidersen yol ne kadar kısalır?

İlk adım olarak yoldan gidersen yürüyeceğin mesafeyi hesaplayalım. Önce 250 metre düz, sonra 100 metre sola yürüyeceksin. Bu toplam 250 + 100 = 350 metre eder. Şimdi sıra tarlanın üzerinden gidilen yolun uzunluğunu hesaplamaya geldi. Bunun için bir şekle ihtiyacımız var.

Şekilde bir birim 50 metreyi gösteriyor. Tarlanın üzerinden doğrudan gidilen yol nasıl görünürdü? A noktasından C noktasına çizilen bir doğru parçası olurdu. Onu şekle kırmızı renkle çizelim.

Artık tarlanın üzerinden gidilen yolun uzunluğunu hesaplamak için Pisagor teoremini uygun biçimde uygulamamızın yeterli olduğunu görüyoruz. Hipotenüsün uzunluğunu arıyoruz ve iki dik kenarın uzunluğunu biliyoruz; bu yüzden ilk formülü kullanıp şöyle yerine yazarız:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

Uzunlukları yazalım:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

Kareleri alalım:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Karekökü alıp yuvarlayalım:

$$|AC|=269$$

Tarlanın üzerinden gidilen yolun uzunluğu 269 metredir. Örnek henüz bitmedi; soru, tarladan gidilen yolun ne kadar daha kısa olduğuydu. Bu yüzden uzunlukları birbirinden çıkarırız, farkı r ile gösterelim:

$$r=350-269=81$$

Cevap: Tarladan gidilen yol yaklaşık 81 metre daha kısadır.

Karenin Kenar Uzunluğu

Köşegeninin uzunluğu on olan bir karenin kenar uzunluğu kaçtır? Pisagor teoremi bunda bize nasıl yardımcı olur? Karenin içinde, kenar uzunluğunu hesaplamak için kullanabileceğimiz bir dik üçgen bulmalıyız. Hatırlatma olarak: karenin dört kenarı da eşit uzunluktadır. Mevcut durumu çizelim:

Karenin içinde birdenbire dik açılı iki üçgenin ortaya çıktığını ve bunları kenar uzunluğunu hesaplamak için kullanabileceğimizi görüyoruz. Örneğin BCD üçgenini alalım. DB kenarı hipotenüs, kalan iki kenar dik kenardır. Dik kenarların uzunluklarını bilmiyoruz ama hipotenüsün uzunluğunu biliyoruz. Bu dik kenarların uzunlukları eşittir, yani |BC| = |CD|. Temel Pisagor teoremini kullanalım:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Dik kenarlar eşit olduğu için bir dik kenarın karesini hesaplayıp ikiyle çarpmamız yeterlidir; iki dik kenarın karesini ayrı ayrı hesaplamamıza gerek yok, çünkü aynı sonucu bulurduk. Böylece şunu yazabiliriz:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

BD kenarının uzunluğunu biliyoruz, bu hipotenüstür. Uzunluğu 10’dur. Denklemde yerine yazalım:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

10’un karesini alalım:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

İkiye bölelim:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

Kesri sadeleştirelim:

$$50=|BC{|}^2$$

Artık hedefe çok yaklaştık. Karenin kenar uzunluğunun karesinin 50’ye eşit olduğunu biliyoruz. Kenar uzunluğunu bulmak için denklemin karekökünü de almalıyız; pozitif sayılarla çalıştığımız için bunu yapabiliriz:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

50’nin karekökünü bu biçimde bırakırız; ama denklemin sağ tarafında karekök ile kare birbirini götürdüğü için bunları sadeleştirebiliriz.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

İstersen 50’nin karekökünü de hesaplayabilirsin. Yuvarlarsak 7 çıkar:

$$7=|BC|$$

Demek ki karenin kenar uzunluğu yaklaşık yedidir; tam değeri ise 50’nin kareköküdür.

Hesap Makinesi

Hipotenüsü iki dik kenardan, bir dik kenarı hipotenüsten ve diğer dik kenardan hesaplayabilirsin. Her alanın birimini değiştirebilirsin.