Vektoren

Ein Vektor beschreibt eine Größe, die neben dem Betrag auch eine Richtung hat. Damit unterscheidet er sich von einer gewöhnlichen Zahl, einem sogenannten Skalar, der nur einen Betrag hat.

Gerichtete Strecke

Wir haben in der Ebene zwei verschiedene Punkte A, B. Zwischen diesen Punkten können wir eine Strecke ziehen. Eine solche Strecke schreiben wir meist als AB, dabei gilt aber, dass die Reihenfolge der Punkte keine Rolle spielt. Die Strecke AB ist genau dieselbe wie die Strecke BA.

Das ist nicht immer praktisch, und deshalb führen wir den Begriff der gerichteten Strecke ein, bei der wir den Anfangspunkt und den Endpunkt unterscheiden. Die gerichtete Strecke AB hat den Anfangspunkt A und den Endpunkt B. In der Abbildung kennzeichnen wir eine gerichtete Strecke durch einen Pfeil, im Text schreiben wir sie mit einem Pfeil über den Punkten: $\overrightarrow{AB}$. Ein Beispiel:

Blau ist die Strecke AB dargestellt, rot die gerichtete Strecke $\overrightarrow{CD}$. Wenn für eine gerichtete Strecke $\overrightarrow{AB}$ gilt, dass A = B ist, nennen wir sie die gerichtete Nullstrecke. Eine solche Strecke hat denselben Anfangs- und Endpunkt, man würde sie gar nicht für eine Strecke halten, wenn sie doch eigentlich nur ein einziger Punkt ist.

Der Betrag einer gerichteten Strecke ist gleich der Länge der gewöhnlichen Strecke. Es gilt $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Richtung einer gerichteten Strecke

Sieh dir die folgenden zwei gerichteten Strecken $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ an:

Auf den ersten Blick sieht man, dass die gerichteten Strecken dieselbe Richtung haben. Obwohl wir den Begriff „Richtung“ ordentlich definieren könnten, bleiben wir lieber bei der anschaulichen Vorstellung. Vereinfacht gesagt haben gerichtete Strecken dieselbe Richtung, wenn sie parallel sind und die eine nicht in die entgegengesetzte Richtung zeigt als die andere. Das sind alles Paare gerichteter Strecken, die dieselbe Richtung haben:

Die letzten, grünen Strecken sind die gerichteten Strecken $\overrightarrow{IJ}$ und $\overrightarrow{IK}$. Es folgt ein Beispiel für Paare von Strecken, die nicht dieselbe Richtung haben:

Was ist ein Vektor

Kehren wir zur Abbildung der zwei gerichteten Strecken mit derselben Richtung zurück:

Wir sehen, dass diese gerichteten Strecken nicht nur dieselbe Richtung, sondern auch denselben Betrag haben. Der einzige Unterschied zwischen ihnen ist, dass sie an einer anderen Stelle liegen. Solche gerichteten Strecken, die dieselbe Richtung und denselben Betrag haben, stellen ein und denselben Vektor dar.

Einen Vektor können wir also in der Ebene (im Raum …) auf unendlich viele Arten zeichnen – wir müssen nur irgendeine gerichtete Strecke nehmen, die dieselbe Richtung und denselben Betrag hat wie der vorgegebene Vektor. Die folgenden gerichteten Strecken stellen also alle einen Vektor dar:

Ein Vektor ist nur durch seinen Betrag und seine Richtung gegeben. Betrag und Richtung des Vektors sind dieselben wie Betrag und Richtung der gerichteten Strecke, die den Vektor darstellt. Vektoren schreiben wir üblicherweise fett und mit einem Pfeil, genauso wie eine gerichtete Strecke. So können wir den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ oder kürzer den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ haben.

Eine konkrete gerichtete Strecke ist dann ein Repräsentant (Pfeil) des Vektors. In der vorigen Abbildung haben wir insgesamt 7 gerichtete Strecken, jede legt also einen anderen Repräsentanten des Vektors fest. Die gerichteten Strecken $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{MN}$ stellen denselben Vektor dar, sagen wir $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, es handelt sich aber um zwei verschiedene Repräsentanten des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Kollineare Vektoren

Wir haben zwei Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Wir sagen, dass diese Vektoren kollinear sind, wenn sie parallel sind. Die Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ müssen nicht denselben Betrag haben. Die Richtung muss entweder gleich oder entgegengesetzt sein. Beispiele für kollineare Vektoren:

Alle roten Vektoren sind kollinear – sie sind parallel. Auf die Orientierung kommt es nicht weiter an, es ist egal, ob sie nach rechts oben oder nach links unten zeigen. Der blaue Vektor $\overrightarrow{GH}$ ist nicht kollinear.

Wenn kollineare Vektoren dieselbe Richtung haben, sagen wir, dass sie gleich orientiert sind, wenn sie nicht dieselbe Richtung haben, dann sind sie entgegengesetzt orientiert. Kehren wir zur vorigen Abbildung zurück: Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{EF}$ sind gleich orientiert, die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{KL}$ sind entgegengesetzt orientiert.

Koordinaten von Vektoren

Wir wissen bereits, dass sich ein Vektor durch unendlich viele gerichtete Strecken ausdrücken lässt. Eine dieser Strecken hat ihren Anfangspunkt im Koordinatenursprung, im Punkt (0 ∣ 0), wenn von der Ebene die Rede ist, und im Punkt (0 ∣ 0 ∣ 0), wenn vom Raum die Rede ist. Sieh dir die folgende Abbildung an:

Die gerichteten Strecken $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ haben dieselbe Richtung und denselben Betrag, es ist ein Vektor. Dabei geht die Strecke $\overrightarrow{CD}$ vom Koordinatenursprung aus, die Koordinaten des Punktes C sind (0 ∣ 0). Dasselbe gilt für das Paar der Strecken $\overrightarrow{EF}$ und $\overrightarrow{KL}$.

Wenn wir wissen, dass die Strecken $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ vom Ursprung ausgehen, können wir vereinbaren, dass wir diese Vektoren nur durch den Endpunkt kennzeichnen. Der Anfangspunkt ist derselbe (nämlich der Koordinatenursprung), und um die Strecken $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ zu unterscheiden, genügt es also, ihre Endpunkte aufzuschreiben.

Wir sagen, dass der Vektor $\overrightarrow{AB}$ und damit auch der Vektor $\overrightarrow{CD}$ die Koordinaten (3 ∣ 1) hat, nämlich die Koordinaten des Punktes D – des Endpunktes der Strecke $\overrightarrow{CD}$. Der Vektor $\overrightarrow{KL}$ hat dann die Koordinaten (−1 ∣ 4), die Koordinaten des Punktes F.

Wie man die Koordinaten eines Vektors berechnet

Nun der rechnerische Weg, die Koordinaten eines Vektors zu bestimmen. Wir gehen davon aus, dass wir die Koordinaten der Punkte A, B kennen, die den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ festlegen. Wir haben also den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, der durch die Punkte A(2 ∣ 3) und B(5 ∣ 4) bestimmt ist. Das ist der rote Vektor weiter oben in der vorigen Abbildung. Wie finden wir die Koordinaten des Punktes D, also des Endpunktes der gerichteten Strecke, die den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ darstellt und im Ursprung beginnt?

Wir verschieben einfach die ganze Strecke $\overrightarrow{AB}$ in den Koordinatenursprung. Um den Punkt A in den Ursprung zu bringen, müssen wir ihn um 2 Kästchen nach links und um 3 Kästchen nach unten verschieben. Dasselbe machen wir mit dem Punkt B. Mit anderen Worten: Von beiden Punkten A und B subtrahieren wir die Koordinaten des Punktes A. Dadurch verschieben wir die Strecke $\overrightarrow{AB}$ an die Stelle, an der die Strecke $\overrightarrow{CD}$ eingezeichnet ist. Wir können schreiben:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2\mid 3)-(2\mid 3)& =& (0\mid 0)\\ B-A=(5\mid 4)-(2\mid 3)& =& (3\mid 1)\end{array}$$

Die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sind dann die Koordinaten (3 ∣ 1), der Endpunkt der gerichteten Strecke, die ihren Anfangspunkt im Ursprung hat.

Wir können schreiben: Ist der Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ durch die Punkte A(x₁ ∣ y₁) und B(x₂ ∣ y₂) gegeben, so finden wir die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ wie folgt:

$$B-A=(x_2-x_1\mid y_2-y_1)$$

Die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ schreiben wir in runden Klammern, die Koordinaten des vorigen Vektors $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ würden wir also so aufschreiben: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$.

Wir können noch einmal zur Abbildung zurückkehren und die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{KL}$ berechnen. Die Koordinaten der Punkte K und L sind K(−2 ∣ 1), L(−3 ∣ 5). Die Koordinaten des Vektors lauten also

$$L-K=(-3\mid 5)-(-2\mid 1)=(-1\mid 4)$$

Wir sehen, dass wir die richtigen Koordinaten des Punktes F erhalten haben.

Wie man den Betrag von Vektoren berechnet

Wenn wir die Koordinaten der Vektoren kennen, können wir leicht ihren Betrag berechnen. Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich ziemlich einfach herleiten, dass der Betrag eines Vektors mit den Koordinaten $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ in der Ebene

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

ist.

In der folgenden Abbildung sehen wir, dass die Koordinaten des Vektors mit den Seitenlängen des entstandenen Dreiecks übereinstimmen und dass wir nach Anwenden des Satzes des Pythagoras tatsächlich leicht den Betrag des Vektors berechnen.

Für den Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ ist sein Betrag

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Und nun folgen zwei Beispiele zum Üben des behandelten Stoffs.

1. Bestimme die Koordinaten des Vektors u, der durch die Punkte A(3 ∣ 7), B(−1 ∣ 0) gegeben ist. Hier ist das Vorgehen ganz einfach und geradlinig. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Der Vektor hat also die Koordinaten $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\end{array}\right)$

2. Wir wissen, dass der Vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ die Koordinaten $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ hat und durch die Punkte A(6 ∣ 6) und B(x₁ ∣ y₁) gebildet wird, d. h. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Bestimme die Koordinaten des Punktes B.

   Wir stellen wieder unsere altbekannte Gleichung auf und lösen sie einfach nach der Unbekannten auf:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Die zweite Koordinate bestimmen wir auf identische Weise:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Der Punkt B hat die Koordinaten (8 ∣ 9).