Linjärkombination av vektorer

En linjärkombination är ett sätt att bygga en ny vektor av en viss mängd vektorer, bara med hjälp av addition och multiplikation.

Vad är en linjärkombination

Låt V vara ett vektorrum. Vi vet att rummet är slutet under addition av vektorer, så för två vektorer x, y ∈ V gäller alltid att x + y ∈ V. Om vi adderar två vektorer får vi återigen en vektor i samma rum. Detsamma gäller multiplikation med skalär. Om vi har något k ∈ ℝ gäller också k · x ∈ V.

Vi kan kombinera båda operationerna — vi tar k, l ∈ ℝ, och uttrycket k · x + l · y ger oss återigen en ny vektor, som vi kallar v, och den vektorn v ligger också i rummet V. Varför? k · x ∈ V, och säkert också l · y ∈ V. Vi adderar två vektorer i rummet V, så per definition måste vi få en vektor i rummet V.

Vi kan alltså säga att vektorn v är en linjärkombination av vektorerna x och y. Allmänt: om vi har vektorerna x₁, x₂, …, x_n och reella tal k₁, k₂, …, k_n, som vi kallar koefficienter, så är en linjärkombination av dessa vektorer den vektor v som vi får genom

$$\mathbf{v}=k_1\cdot {\mathbf{x}}_1+k_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +k_n\cdot {\mathbf{x}}_n.$$

Exempel: vi tar rummet ℝ² och två vektorer i det: (2, 3) och (0, 8). Nu väljer vi koefficienterna k₁ = 2, k₂ = 5. Linjärkombinationen av de här vektorerna med koefficienterna k₁, k₂ ger vektorn

$$2\cdot (2,3)+5\cdot (0,8)=(4,6)+(0,40)=(4,46)$$

Vi ser att vi fick vektorn (4, 46), som ligger i rummet ℝ². Om vi valde andra koefficienter skulle vi få en annan vektor. För k₁ = 0, k₂ = −1 har vi:

$$0\cdot (2,3)-1\cdot (0,8)=(0,0)+(0,-8)=(0,-8)$$

Linjärt beroende vektorer

Linjärkombinationer hänger ihop med linjärt beroende och linjärt oberoende vektorer. Vi visar det med ett exempel: låt ℝ² vara vårt vektorrum och Q en mängd vektorer i det rummet:

$$Q=\{(1,1),(2,4),(3,5),(10,18)\}$$

Nu vill vi veta om vi kan uttrycka någon av de här fyra vektorerna som en linjärkombination av de andra tre. När vi tittar på vektorerna ser vi att vektorn (3, 5) är lika med summan av de två första vektorerna.

$$(1,1)+(2,4)=(3,5)$$

Vektorn (3, 5) är alltså en linjärkombination av vektorerna (1, 1) och (2, 4). För att det ska bli roligare tar vi bort den här vektorn ur mängden Q. Vi får en ny mängd Q₁ som ser ut så här:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

Finns det någon vektor här som är en linjärkombination av de andra? Ja, vektorn (10, 18) är en linjärkombination av de två första vektorerna för k₁ = 2, k₂ = 4:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)=(2,2)+(8,16)=(10,18)$$

Vi tar återigen bort den här vektorn och får:

$$Q_2=\{(1,1),(2,4)\}$$

Vi frågar oss igen — kan vi få den ena vektorn som en kombination av den andra? Det kan vi inte, ingen multipel av vektorn (1, 1) blir lika med vektorn (2, 4).

Vi har fått en mängd vektorer där ingen av vektorerna kan uttryckas som en linjärkombination av de andra vektorerna. En sådan mängd kallar vi en linjärt oberoende mängd av vektorer. Om en vektor kan uttryckas som en kombination av de andra talar vi om den som en linjärt beroende vektor. Om den inte kan uttryckas så talar vi om den som en linjärt oberoende vektor.

Nollvektorn

Nollvektorn 0 spelar en viktig roll för linjärt beroende. Vi går tillbaka till mängden vektorer Q₁ och rummet ℝ². Mängden Q₁ ser ut så här:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

och vi vet redan att vektorn (10, 18) är beroende, eftersom 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). Vad skulle då hända om vi subtraherade vektorn (10, 18) från uttrycket 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4)? Eller snarare om vi adderade −1 gånger den? Det skulle se ut så här:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)$$

Det här uttrycket skulle säkert vara lika med nollvektorn:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)=(0,0)$$

Av det kan vi dra en intressant slutsats. Om mängden vektorer x₁, x₂, …, x_n är linjärt beroende, så finns det reella koefficienter a₁, a₂, …, a_n sådana att

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Minst en koefficient a_i måste dessutom vara skild från noll. Om vi satte in noll för alla koefficienter skulle vi alltid få en giltig ekvation, och då skulle vi få att varje mängd vektorer är linjärt beroende, vilket säkert är nonsens. Förklaringen till den föregående ekvationen är enkel. Om till exempel vektorn x₁ är linjärt beroende betyder det att

$$a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n={\mathbf{x}}_1$$

Till den här ekvationen räcker det att addera −x₁, så får vi

$$-1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Hur man tar reda på om vektorer är beroende

Om vi har vektorerna x₁, x₂, …, x_n och vill veta om de är linjärt (o)beroende räcker det att lösa den ekvation vi nyss nämnde

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

dvs. hitta koefficienterna a_i. Om vi rör oss i rummet ℝ³ kan vi ha de här vektorerna: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Eftersom vi vill veta om de är beroende löser vi den här ekvationen:

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Vi skriver bara ut ekvationen enligt definitionen av addition av vektorer och multiplikation av vektorer. Det gäller att a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁) osv. Vi skriver ut:

$$(a_1,2a_1,3a_1)+(2a_2,a_2,7a_2)+(a_3,-4a_3,5a_3)=(0,0,0)$$

Nu skriver vi ut additionen. Vi adderar alltid komponenter på samma plats, så vi adderar den första komponenten i den första vektorn a₁ med den första komponenten i den andra vektorn 2a₂ och med den första komponenten i den tredje vektorn a₃, och allt det måste vara lika med den första komponenten i nollvektorn, dvs. noll. Och på samma sätt för den andra och tredje komponenten. Vi får ett linjärt ekvationssystem:

$$\begin{array}{}{a}_1& +& 2a_2& +& a_3& =& 0\\ 2a_1& +& a_2& +& -4a_3& =& 0\\ 3a_1& +& 7a_2& +& 5a_3& =& 0\end{array}$$

Det här systemet kan vi skriva som en vanlig matris:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)$$

Lägg märke till att kolumnerna i den här matrisen i själva verket är de ursprungliga vektorerna. I matrisens första kolumn står den ursprungliga vektorn (1, 2, 3), i den tredje står vektorn (1, −4, 5) osv. När du räknar behöver du alltså inte alltid göra alla de här krångliga omskrivningarna, du skapar matrisen genom att skriva vektorerna vars beroende du ska undersöka som kolumner och sedan lägga till en nollkolumn.

Systemet kan vi lösa med Gausselimination. Vi överför matrisen till trappstegsform. Först adderar vi −2 gånger den första raden till den andra raden och −3 gånger den första raden till den tredje raden:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Nu kan vi addera 3 gånger den tredje raden till den andra raden:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Längre än så behöver vi egentligen inte räkna, vi lyckades nollställa en rad, vilket betyder att vektorerna är linjärt beroende. Men vi kan räkna klart systemet. Vi väljer parametern a₃ = t. Ekvationen

$$a_2+2a_3=0$$

som är matrisens sista rad, blir då efter insättning av a₃ = t:

$$\begin{array}{rcl}{a}_2+2t& =& 0\\ a_2& =& -2t\end{array}$$

Nu sätter vi in de här värdena i den första ekvationen, dvs. i matrisens första rad:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1+2a_2+a_3& =& 0\\ a_1-4t+t& =& 0\\ a_1& =& 3t\end{array}$$

Vi har alltså a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Om vi för t till exempel sätter in t = 3 får vi en konkret lösning a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. De här koefficienterna kan vi sätta in i den ursprungliga ekvationen

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

och vi får:

$$9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Vi förenklar vänsterledet:

$$\begin{array}{rcl}9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)& =& (0,0,0)\\ (9,18,27)+(-12,-6,-42)+(3,-12,15)& =& (0,0,0)\\ (9-12+3,18-6-12,27-42+15)& =& (0,0,0)\\ (0,0,0)& =& (0,0,0)\end{array}$$

Vi ser att om vi som koefficienter väljer till exempel a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3 får vi nollvektorn av vektorerna (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Om systemet bara hade en enda lösning, den triviala lösningen, skulle vektorerna vara linjärt oberoende.