Combinazione lineare di vettori

La combinazione lineare è un procedimento per costruire un nuovo vettore a partire da un certo insieme di vettori usando soltanto somme e moltiplicazioni.

Che cos’è una combinazione lineare

Sia V uno spazio vettoriale. Sappiamo che lo spazio è chiuso rispetto alla somma di vettori, quindi per due vettori x, y ∈ V vale sempre x + y ∈ V. Se sommiamo due vettori, otteniamo di nuovo un vettore dello stesso spazio. Lo stesso vale per la moltiplicazione per uno scalare: se abbiamo un k ∈ ℝ, allora anche k · x ∈ V.

Possiamo combinare le due operazioni: prendiamo k, l ∈ ℝ e l’espressione k · x + l · y ci dà ancora un vettore, che indichiamo con v, e questo vettore v starà ancora nello spazio V. Perché? k · x ∈ V e, allo stesso tempo, sicuramente l · y ∈ V. Sommiamo due vettori dello spazio V, quindi per definizione dobbiamo ottenere un vettore dello spazio V.

Possiamo dunque dire che il vettore v è una combinazione lineare dei vettori x e y. In generale: se abbiamo i vettori x₁, x₂, …, x_n e i numeri reali k₁, k₂, …, k_n, che chiamiamo coefficienti, la combinazione lineare di questi vettori è il vettore v che otteniamo come

$v = k_{1} \cdot x_{1} + k_{2} \cdot x_{2} + \dots + k_{n} \cdot x_{n} .$

Esempio: prendiamo lo spazio ℝ² e in esso due vettori: (2; 3) e (0; 8). Scegliamo ora i coefficienti k₁ = 2, k₂ = 5. La combinazione lineare di questi vettori con i coefficienti k₁, k₂ ci dà il vettore

$2 \cdot (2; 3) + 5 \cdot (0; 8) = (4; 6) + (0; 40) = (4; 46)$

Vediamo che abbiamo ottenuto il vettore (4; 46), che appartiene allo spazio ℝ². Se scegliessimo altri coefficienti, otterremmo un altro vettore. Per k₁ = 0, k₂ = −1 abbiamo:

$0 \cdot (2; 3) - 1 \cdot (0; 8) = (0; 0) + (0; - 8) = (0; - 8)$

Vettori linearmente dipendenti

Alle combinazioni lineari sono legati i vettori linearmente dipendenti o linearmente indipendenti. Lo vediamo con un esempio: sia ℝ² lo spazio vettoriale e sia Q un insieme di vettori di questo spazio:

$Q = {(1; 1), (2; 4), (3; 5), (10; 18)}$

Ci chiediamo ora se riusciamo a esprimere uno di questi quattro vettori come combinazione lineare degli altri tre. Guardando i vettori, vediamo che il vettore (3; 5) è uguale alla semplice somma dei primi due.

$(1; 1) + (2; 4) = (3; 5)$

Il vettore (3; 5) è quindi una combinazione lineare dei vettori (1; 1) e (2; 4). Per divertirci, togliamo questo vettore dall’insieme Q. Otteniamo un nuovo insieme Q₁ della forma:

$Q_{1} = {(1; 1), (2; 4), (10; 18)}$

C’è ancora qualche vettore che sia combinazione lineare degli altri? Sì, il vettore (10; 18) è una combinazione lineare dei primi due per k₁ = 2, k₂ = 4:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) = (2; 2) + (8; 16) = (10; 18)$

Togliamo di nuovo questo vettore e otteniamo:

$Q_{2} = {(1; 1), (2; 4)}$

Ci chiediamo di nuovo: possiamo ottenere uno dei vettori come combinazione dell’altro? No, nessun multiplo del vettore (1; 1) sarà uguale al vettore (2; 4).

Abbiamo ottenuto un insieme di vettori in cui nessun vettore si può esprimere come combinazione lineare degli altri. Un tale insieme si chiama insieme di vettori linearmente indipendenti. Se un vettore si può esprimere come combinazione degli altri, parliamo di vettore linearmente dipendente. Se non si può esprimere così, parliamo di vettore linearmente indipendente.

Il vettore nullo

Il vettore nullo 0 ha un ruolo importante nella dipendenza lineare. Torniamo all’insieme di vettori Q₁ e allo spazio ℝ². L’insieme Q₁ si presenta così:

$Q_{1} = {(1; 1), (2; 4), (10; 18)}$

e sappiamo già che il vettore (10; 18) è dipendente, perché 2 · (1; 1) + 4 · (2; 4) = (10; 18). Che cosa succederebbe se dall’espressione 2 · (1; 1) + 4 · (2; 4) sottraessimo il vettore (10; 18)? Ossia se sommassimo questo vettore moltiplicato per −1? Sarebbe così:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) - (10; 18)$

Questa espressione sarebbe sicuramente uguale al vettore nullo:

$2 \cdot (1; 1) + 4 \cdot (2; 4) - (10; 18) = (0; 0)$

Da qui possiamo dedurre una proprietà interessante. Se l’insieme di vettori x₁, x₂, …, x_n è linearmente dipendente, allora esistono dei coefficienti reali a₁, a₂, …, a_n tali che

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Almeno un coefficiente a_i deve però essere diverso da zero. Se sostituissimo tutti i coefficienti con zero, otterremmo sempre un’uguaglianza valida, e di conseguenza ogni insieme di vettori risulterebbe linearmente dipendente, il che è certamente un’assurdità. La giustificazione dell’uguaglianza precedente è semplice. Se per esempio è linearmente dipendente il vettore x₁, allora questo significa che

$a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = x_{1}$

A questa uguaglianza basta aggiungere −x₁ e otteniamo

$- 1 \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Come verificare se i vettori sono dipendenti

Se abbiamo dei vettori x₁, x₂, …, x_n e vogliamo scoprire se sono linearmente dipendenti o indipendenti, basta risolvere l’uguaglianza appena vista

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

cioè trovare i coefficienti a_i. Se ci muoviamo nello spazio ℝ³, potremmo avere questi vettori: (1; 2; 3), (2; 1; 7), (1; −4; 5). Poiché vogliamo scoprire se sono dipendenti, risolviamo questa equazione:

$a_{1} \cdot (1; 2; 3) + a_{2} \cdot (2; 1; 7) + a_{3} \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

Scriviamo l’equazione per esteso secondo la definizione di somma di vettori e di moltiplicazione di vettori. Vale che a₁ · (1; 2; 3) = (a₁; 2a₁; 3a₁) ecc. Scriviamo così:

$(a_{1}; 2 a_{1}; 3 a_{1}) + (2 a_{2}; a_{2}; 7 a_{2}) + (a_{3}; - 4 a_{3}; 5 a_{3}) = (0; 0; 0)$

Ora scriviamo la somma. Sommiamo sempre le componenti corrispondenti: sommiamo quindi la prima componente del primo vettore a₁ con la prima componente del secondo vettore 2a₂ e con la prima componente del terzo vettore a₃, e il tutto deve essere uguale alla prima componente del vettore nullo, cioè a zero. E lo stesso per la seconda e la terza componente. Otteniamo un sistema di equazioni lineari:

$\begin{matrix} a_{1} & + & 2 a_{2} & + & a_{3} & = & 0 \\ 2 a_{1} & + & a_{2} & + & - 4 a_{3} & = & 0 \\ 3 a_{1} & + & 7 a_{2} & + & 5 a_{3} & = & 0 \end{matrix}$

Questo sistema possiamo scriverlo in una classica matrice:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix})$

Osserva che nelle colonne di questa matrice ci sono in realtà i vettori originali. Nella prima colonna della matrice c’è il vettore originale (1; 2; 3), nella terza c’è il vettore (1; −4; 5) ecc. Nei calcoli quindi non devi ogni volta eseguire tutti questi passaggi complicati: la matrice si costruisce disponendo in colonna i vettori di cui vuoi sapere se sono dipendenti e aggiungendo poi una colonna nulla.

Il sistema possiamo risolverlo con il metodo di eliminazione di Gauss. Riduciamo la matrice in forma a scala. Per prima cosa sommiamo alla seconda riga la prima moltiplicata per −2 e alla terza riga sommiamo la prima moltiplicata per −3:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Ora possiamo sommare alla seconda riga la terza moltiplicata per 3:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Non serve nemmeno proseguire: siamo riusciti ad annullare una riga, il che indica che i vettori sono linearmente dipendenti. Possiamo però completare il calcolo del sistema. Scegliamo il parametro a₃ = t. Poi dall’equazione

$a_{2} + 2 a_{3} = 0$

che è l’ultima riga della matrice, sostituendo a₃ = t otteniamo l’equazione:

$\begin{array}{rcl} a_{2} + 2 t & = & 0 \\ a_{2} & = & - 2 t \end{array}$

Ora sostituiamo questi valori nella prima equazione, cioè nella prima riga della matrice:

$\begin{array}{rcl} a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} & = & 0 \\ a_{1} - 4 t + t & = & 0 \\ a_{1} & = & 3 t \end{array}$

Abbiamo quindi a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Se per t scegliamo per esempio il valore t = 3, otteniamo una soluzione concreta a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Questi coefficienti possiamo sostituirli nell’equazione originale

$a_{1} \cdot (1; 2; 3) + a_{2} \cdot (2; 1; 7) + a_{3} \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

e otteniamo:

$9 \cdot (1; 2; 3) + (- 6) \cdot (2; 1; 7) + 3 \cdot (1; - 4; 5) = (0; 0; 0)$

Semplifichiamo il membro di sinistra:

$\begin{array}{rcl} 9 \cdot (1; 2; 3) + (- 6) \cdot (2; 1; 7) + 3 \cdot (1; - 4; 5) & = & (0; 0; 0) \\ (9; 18; 27) + (- 12; - 6; - 42) + (3; - 12; 15) & = & (0; 0; 0) \\ (9 - 12 + 3; 18 - 6 - 12; 27 - 42 + 15) & = & (0; 0; 0) \\ (0; 0; 0) & = & (0; 0; 0) \end{array}$

Vediamo che, scegliendo per esempio i coefficienti a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, dai vettori (1; 2; 3), (2; 1; 7), (1; −4; 5) otteniamo il vettore nullo. Se il sistema avesse una sola soluzione, quella nulla, i vettori sarebbero linearmente indipendenti.

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