Vektör Alt Uzayı

Vektör alt uzayı, bir vektör uzayının, toplama ve skalerle çarpmaya göre hâlâ kapalı olan alt kümesidir.

Vektör Alt Uzayının Tanımı

Bir V vektör uzayı verilsin. V uzayının W alt uzayı, V’nin öyle bir alt kümesidir ki W kümesi kendi başına da bir vektör uzayı olur. Bir W ⊆ V boş olmayan alt kümesinin V uzayının vektör alt uzayı olması için şu iki koşulu sağlaması gerekir: her x, y ∈ W ve her a ∈ ℝ için

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Yani V’den öyle bir alt küme seçmeliyiz ki bu vektörler toplama ve çarpmaya göre kapalı olsun.

ℝ³ Uzayının Alt Uzayları

ℝ³ uzayını alıp bir alt uzay bulmaya çalışalım.

1. Örneğin a ∈ ℝ olmak üzere (a, a, a) biçimindeki bütün üçlüleri alsak? Yani $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ ya da (−π, −π, −π) gibi üçlüleri. Bu alt uzaya W₁ diyelim. ℝ³ bütün üçlüleri içerdiğinden W₁, ℝ³ uzayının bir alt kümesidir, yani W₁ ⊆ ℝ³.

Bu küme vektörlerin toplanması işlemine göre kapalıdır, çünkü

$$[a,a,a]+[b,b,b]=[a+b,a+b,a+b].$$

İki vektörü topladığımızda yine üç bileşeni de aynı olan yeni bir vektör elde ederiz; böyle bir vektör de W₁ kümesindedir. Demek ki W₁ kümesi vektör alt uzayının birinci koşulunu sağlar. Peki ikinci koşulu da sağlar mı?

Evet, sağlar. Çünkü k ile çarpmak vektörün üç bileşenini de değiştirir, ama hepsini tamamen aynı biçimde değiştirir:

$$k\cdot [a,a,a]=[k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a].$$

Yine üç bileşeni de eşit olan bir vektör elde ederiz ve böyle bir vektör W₁ kümesindedir. Dolayısıyla W₁, ℝ³ uzayının bir vektör alt uzayıdır.

• a, b, c ∈ [−1, 1] olmak üzere (a, b, c) biçimindeki bütün üçlüleri almayı da deneyebiliriz. Bu kümeye W₂ diyelim; elemanlarına örnek olarak $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ ya da $(0,\frac{\pi }{4},1)$ üçlüleri verilebilir. W₂ elemanları toplamaya göre kapalı mı? Kesinlikle değil, çünkü $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ toplamı $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$ üçlüsüne eşittir ve bu üçlü W₂ kümesine ait değildir. Demek ki W₂ kümesi ℝ³ uzayının alt uzayı değildir; W₂ hiçbir biçimde bir uzay oluşturmaz.

• Şimdi a, b ∈ ℝ olmak üzere (a, 0, b) biçimindeki bütün üçlüleri alalım. Bunlar ikinci bileşeni sıfır olan bütün üçlülerdir. Bu kümeye W₃ diyelim. Bu küme toplamaya göre kapalı mı? Evet, kapalı, çünkü

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

Sonuç olarak (a + c, 0, b + d) üçlüsünü elde ederiz; bu üçlünün ikinci bileşeni sıfırdır, diğer iki bileşeni gerçek sayıdır. Bu üçlü kesinlikle W₃ içindedir. W₃ çarpmaya göre de kapalı mı? Evet, kapalı, çünkü

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

Yine ikinci bileşeni her zaman sıfır, diğer bileşenleri gerçek sayı olan (k · a, 0, k · b) üçlüsünü elde ederiz. Böyle bir üçlü W₃ kümesinin elemanıdır. Demek ki W₃ kümesi ℝ³ uzayının bir alt uzayıdır. Üçlüler (a, b, 0) ya da (a, 0, 0) biçiminde olsaydı onların da bir vektör alt uzayı oluşturacağına dikkat edelim.

Polinomların Alt Uzayı

Bir önceki yazıda polinomlardan oluşan vektör uzayını göstermiştik. Hatırlatalım: polinom

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$$

biçimindeki bir ifadedir. a_n ≠ 0 kabul ederiz. Böyle bir polinomun derecesi tam olarak n sayısıdır. a₀, …, a_n gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir. Polinoma örnek olarak 4 + 3x − 7x² ifadesi verilebilir. Bir vektör alt uzayı bulmaya çalışalım. Bunun için bütün polinomların P(x) vektör uzayını alalım.

1. İlk olarak, n ≥ 0 olmak üzere derecesi n olan bütün polinomların kümesini deneyelim ve bu kümeye W₁ diyelim. Bir önceki yazıda bunun bir vektör uzayı olmadığını zaten söylemiştik; dolayısıyla P(x) uzayının vektör alt uzayı olması da pek mümkün değil. Tekrar edelim: örneğin W₁ içindeki bir polinomu sıfırla çarparsak tanım gereği derecesi −1 olan p(x) = 0 polinomunu elde ederiz. Bu eleman hiçbir W₁ kümesinde yoktur.

2. W₂ olarak derecesi n ve n’den küçük olan bütün polinomları alalım. Yani n = 2 için W₂ içinde dereceleri 2, 1, 0, −1 olan bütün polinomlar bulunur. Bu küme toplamaya göre kapalı mı? Evet, kapalı, çünkü derecesi n olan iki polinomun toplamının derecesi asla n’den büyük olmaz, yalnızca daha küçük olabilir. Aynı şekilde bu küme çarpmaya göre de kapalıdır, çünkü p(x) polinomunun herhangi bir k katı ya aynı dereceden bir polinom ya da sıfır polinomu olur. Her iki olasılığı da W₂ kümesi kapsar; böylece W₂ kümesi P(x) uzayının bir alt uzayını oluşturur.

Alt Uzayların Temel Özellikleri

Bir V vektör uzayı ve onun iki alt uzayı W₁ ile W₂ verilsin. O zaman şunlar geçerlidir:

1. W₁ ∩ W₂ kesişimi, V uzayının bir vektör alt uzayıdır.

   ℝ³ vektör uzayını ve onun W₁, W₂ alt uzaylarını alalım; W₁, a, b ∈ ℝ olmak üzere (a, b, 0) biçimindeki üçlülerden, W₂ ise (a, 0, b) biçimindeki üçlülerden oluşsun. Bu durumda W₁ ∩ W₂ kesişimi (a, 0, 0) biçimindeki üçlüleri içeren kümedir; böyle bir küme açıkça ℝ³ uzayının bir alt uzayıdır.

   Ama bu elbette bir ispat değildir. İspat şöyle olurdu: herhangi bir V vektör uzayını ve onun iki alt uzayı W₁, W₂ kümelerini alalım. Şimdi her x, y ∈ W₁ ∩ W₂ için x + y ∈ W₁ ∩ W₂ olduğunu kanıtlamak istiyoruz.

   x ve y vektörleri W₁ ∩ W₂ kesişiminde bulunduğundan, kesinlikle x, y ∈ W₁ ve aynı zamanda x, y ∈ W₂ olmalıdır (bu, kümelerin kesişiminin tanımından gelir). W₁ ve W₂ aynı zamanda vektör uzayı olduğundan x + y ∈ W₁ ve aynı zamanda x + y ∈ W₂ olmalıdır (bu, vektör uzayının tanımından gelir). Şimdi hem x + y ∈ W₁ hem de x + y ∈ W₂ elde ettik; bundan x + y ∈ W₁ ∩ W₂ sonucu çıkar (yine kesişimin tanımına göre: bir eleman hem W₁ kümesinde hem de W₂ kümesinde yer alıyorsa, onların kesişiminde de yer almalıdır).

   Sonra çarpmaya göre kapalılığı doğrulamamız gerekir. Her k ∈ ℝ ve x ∈ W₁ ∩ W₂ için k · x ∈ W₁ ∩ W₂ olduğunu kanıtlamalıyız. Yöntem aynıdır. x ∈ W₁ ∩ W₂ olduğundan aynı zamanda x ∈ W₁ ve x ∈ W₂ olur. W₁ ve W₂ uzay olduğundan k · x ∈ W₁ ve aynı zamanda k · x ∈ W₂ olur; dolayısıyla k · x ∈ W₁ ∩ W₂ elde edilir. □

2. W₁ ∪ W₂ birleşimi, V uzayının alt uzayı olmak zorunda değildir.

   İkinci özelliği kanıtlamak için uygun bir karşı örnek bulmak yeter. Bir önceki W₁ ve W₂ uzaylarını kullanalım; bunların üçlüleri sırasıyla (a, b, 0) ve (a, 0, b) biçimindedir. Birleşimlerini alırsak ikinci ya da üçüncü yerinde sıfır bulunan bütün üçlüleri elde ederiz. Dolayısıyla (1, 0, 1) ve (1, 1, 0) vektörleri kesinlikle W₁ ∪ W₂ birleşimindedir. Ama bunların toplamı (2, 1, 1) vektörüne eşittir; bu vektörün hiçbir yerinde sıfır yoktur. Bu vektör ne W₁ içindedir ne de W₂ içinde, dolayısıyla W₁ ∪ W₂ içinde de olamaz. Toplamı aynı kümeye ait olmayan iki vektör bulduk; demek ki bu küme bir vektör uzayı olamaz.