Linearkombination af vektorer

En linearkombination er en fremgangsmåde til at danne en ny vektor ud fra en bestemt mængde af vektorer udelukkende ved hjælp af addition og multiplikation.

Hvad er en linearkombination

Lad os have et vektorrum V. Vi ved, at rummet er lukket under addition af vektorer, så for to vektorer x, y ∈ V gælder altid, at x + y ∈ V. Når vi lægger to vektorer sammen, får vi igen en vektor fra det samme rum. Det samme gælder for multiplikation med en skalar. Hvis vi har et k ∈ ℝ, så er også k · x ∈ V.

De to operationer kan vi kombinere — vi tager k, l ∈ ℝ, og udtrykket k · x + l · y giver os igen en ny vektor, lad os kalde den v, og denne vektor v vil igen ligge i rummet V. Hvorfor? k · x ∈ V, og samtidig er helt sikkert l · y ∈ V. Vi lægger to vektorer fra rummet V sammen, så ifølge definitionen må vi få en vektor fra rummet V.

Vi kan altså sige, at vektoren v er en linearkombination af vektorerne x og y. Generelt: Hvis vi har vektorerne x₁, x₂, …, x_n og de reelle tal k₁, k₂, …, k_n, som vi kalder koefficienter, så er en linearkombination af disse vektorer den vektor v, som vi får ved

$$\mathbf{v}=k_1\cdot {\mathbf{x}}_1+k_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +k_n\cdot {\mathbf{x}}_n.$$

Eksempel: Lad os tage rummet ℝ² og to vektorer fra det: (2, 3) og (0, 8). Nu vælger vi koefficienterne: k₁ = 2, k₂ = 5. Med linearkombinationen af disse vektorer med koefficienterne k₁, k₂ får vi vektoren

$$2\cdot (2,3)+5\cdot (0,8)=(4,6)+(0,40)=(4,46)$$

Vi ser, at vi har fået vektoren (4, 46), som er en del af rummet ℝ². Hvis vi havde valgt andre koefficienter, havde vi fået en anden vektor. For k₁ = 0, k₂ = −1 har vi:

$$0\cdot (2,3)-1\cdot (0,8)=(0,0)+(0,-8)=(0,-8)$$

Lineært afhængige vektorer

Med linearkombinationer hænger lineært afhængige og lineært uafhængige vektorer sammen. Vi viser det på et eksempel: Lad os have vektorrummet ℝ² og en mængde af vektorer Q fra dette rum:

$$Q=\{(1,1),(2,4),(3,5),(10,18)\}$$

Nu interesserer vi os for spørgsmålet, om vi kan udtrykke nogen af disse fire vektorer som en linearkombination af de tre andre vektorer. Når vi kigger på vektorerne, ser vi, at vektoren (3, 5) er lig med den simple sum af de to første vektorer.

$$(1,1)+(2,4)=(3,5)$$

Vektoren (3, 5) er altså en linearkombination af vektorerne (1, 1) og (2, 4). For sjovs skyld fjerner vi denne vektor fra mængden Q. Vi får en ny mængde Q₁, og den har formen:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

Kan vi finde endnu en vektor deri, som er en linearkombination af de andre? Ja, vektoren (10, 18) er en linearkombination af de to første vektorer for k₁ = 2, k₂ = 4:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)=(2,2)+(8,16)=(10,18)$$

Igen fjerner vi denne vektor og får:

$$Q_2=\{(1,1),(2,4)\}$$

Vi spørger igen — kan vi få den ene af vektorerne som en kombination af den anden? Det kan vi ikke, intet multiplum af vektoren (1, 1) vil være lig med vektoren (2, 4).

Vi har fået en mængde af vektorer, hvor ingen af vektorerne kan udtrykkes som en linearkombination af de andre vektorer. En sådan mængde kalder vi en lineært uafhængig mængde af vektorer. Hvis en vektor kan udtrykkes som en kombination af de andre, taler vi om den som en lineært afhængig vektor. Hvis den ikke kan udtrykkes, taler vi om den som en lineært uafhængig vektor.

Nulvektoren

Nulvektoren 0 spiller en vigtig rolle i lineær afhængighed. Lad os vende tilbage til mængden af vektorer Q₁ og rummet ℝ². Mængden Q₁ ser sådan ud:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

og vi ved allerede, at vektoren (10, 18) er afhængig, fordi 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). Hvad ville der så ske, hvis vi trak vektoren (10, 18) fra udtrykket 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4)? Eller rettere hvis vi lagde −1 gange den til? Det ville se sådan ud:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)$$

Dette udtryk ville helt sikkert være lig med nulvektoren:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)=(0,0)$$

Heraf kan vi udlede en interessant egenskab. Hvis mængden af vektorer x₁, x₂, …, x_n er lineært afhængig, så findes der reelle koefficienter a₁, a₂, …, a_n, sådan at

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Mindst én koefficient a_i skal dog være forskellig fra nul. Hvis vi satte nul ind for alle koefficienterne, ville vi altid få en gyldig ligning, og så ville det ende med, at enhver mængde af vektorer er lineært afhængig, og det er helt sikkert noget vrøvl. Begrundelsen for den foregående ligning er enkel. Hvis for eksempel vektoren x₁ er lineært afhængig, betyder det, at

$$a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n={\mathbf{x}}_1$$

Til denne ligning er det nok at lægge −x₁, og vi får

$$-1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Hvordan finder du ud af, om vektorer er afhængige

Hvis vi har vektorerne x₁, x₂, …, x_n og vil finde ud af, om de er lineært afhængige eller uafhængige, er det nok at løse den nævnte ligning

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

dvs. finde koefficienterne a_i. Hvis vi bevæger os i rummet ℝ³, kunne vi have disse vektorer: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Fordi vi vil finde ud af, om de er afhængige, løser vi denne ligning:

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Vi skriver bare denne ligning ud efter definitionen af addition af vektorer og multiplikation af vektorer. Der gælder, at a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁) osv. Vi skriver det ud sådan:

$$(a_1,2a_1,3a_1)+(2a_2,a_2,7a_2)+(a_3,-4a_3,5a_3)=(0,0,0)$$

Nu skriver vi additionen ud. Vi lægger altid sammen på de samme koordinater, så vi lægger første komponent af den første vektor a₁ sammen med første komponent af den anden vektor 2a₂ og med første komponent af den tredje vektor a₃, og det hele skal være lig med første komponent af nulvektoren, dvs. nul. Og det samme for anden og tredje komponent. Vi får et lineært ligningssystem:

$$\begin{array}{}{a}_1& +& 2a_2& +& a_3& =& 0\\ 2a_1& +& a_2& +& -4a_3& =& 0\\ 3a_1& +& 7a_2& +& 5a_3& =& 0\end{array}$$

Dette system kan vi skrive ind i en klassisk matrix:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)$$

Læg mærke til, at søjlerne i denne matrix i virkeligheden er de oprindelige vektorer. I den første søjle i matricen står den oprindelige vektor (1, 2, 3), i den tredje står vektoren (1, −4, 5) osv. Når du regner, behøver du derfor ikke altid udføre alle disse besværlige omskrivninger, du danner denne matrix ved at stable de vektorer, du vil undersøge for afhængighed, som søjler og så tilføje en nulsøjle.

Systemet kan vi løse med Gauss-elimination. Vi omformer matricen til trappeform. Først lægger vi −2 gange første række til anden række, og til tredje række lægger vi −3 gange første række:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Nu kan vi lægge 3 gange tredje række til anden række:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Vi behøver egentlig ikke regne videre, det lykkedes os at nulstille en række, hvilket betyder, at vektorerne er lineært afhængige. Men vi kan regne systemet færdigt. Vi vælger parameteren a₃ = t. Når vi i ligningen

$$a_2+2a_3=0$$

som er den sidste række i matricen, indsætter a₃ = t, får vi ligningen:

$$\begin{array}{rcl}{a}_2+2t& =& 0\\ a_2& =& -2t\end{array}$$

Nu sætter vi disse værdier ind i den første ligning, dvs. i den første række i matricen:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1+2a_2+a_3& =& 0\\ a_1-4t+t& =& 0\\ a_1& =& 3t\end{array}$$

Vi har altså a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Hvis vi for t for eksempel vælger t = 3, får vi én konkret løsning a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Disse koefficienter kan vi sætte ind i den oprindelige ligning

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

og vi får:

$$9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Vi omformer venstre side:

$$\begin{array}{rcl}9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)& =& (0,0,0)\\ (9,18,27)+(-12,-6,-42)+(3,-12,15)& =& (0,0,0)\\ (9-12+3,18-6-12,27-42+15)& =& (0,0,0)\\ (0,0,0)& =& (0,0,0)\end{array}$$

Vi ser, at hvis vi som koefficienter vælger for eksempel a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, får vi nulvektoren ud af vektorerne (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Hvis systemet kun havde én løsning, den trivielle, ville vektorerne være lineært uafhængige.