Vektorien lineaarikombinaatio

Lineaarikombinaatio on tapa muodostaa jostakin vektorijoukosta uusi vektori pelkästään yhteenlaskun ja kertolaskun avulla.

Mikä lineaarikombinaatio on

Olkoon annettuna jokin vektoriavaruus V. Tiedetään, että avaruus on suljettu vektorien yhteenlaskun suhteen, joten kahdelle vektorille x, y ∈ V pätee aina x + y ∈ V. Kun kaksi vektoria lasketaan yhteen, saadaan taas vektori samasta avaruudesta. Sama pätee skalaarilla kertomiselle. Jos on jokin k ∈ ℝ, myös k · x ∈ V.

Molemmat laskutoimitukset voidaan yhdistää — otetaan k, l ∈ ℝ, ja lauseke k · x + l · y antaa jälleen uuden vektorin, merkitään sitä v, ja tämä vektori v on taas avaruudessa V. Miksi? k · x ∈ V ja samoin varmasti l · y ∈ V. Lasketaan yhteen kaksi avaruuden V vektoria, joten määritelmän mukaan tuloksena täytyy olla avaruuden V vektori.

Voidaan siis sanoa, että vektori v on vektorien x ja y lineaarikombinaatio. Yleisesti: jos on vektorit x₁, x₂, …, x_n ja reaaliluvut k₁, k₂, …, k_n, joita sanotaan kertoimiksi, näiden vektorien lineaarikombinaatio on vektori v, joka saadaan lausekkeesta

$v = k_{1} \cdot x_{1} + k_{2} \cdot x_{2} + \dots + k_{n} \cdot x_{n} .$

Esimerkki: otetaan avaruus ℝ² ja siitä kaksi vektoria: (2, 3) ja (0, 8). Valitaan nyt kertoimet k₁ = 2, k₂ = 5. Näiden vektorien lineaarikombinaatio kertoimilla k₁, k₂ on vektori

$2 \cdot (2, 3) + 5 \cdot (0, 8) = (4, 6) + (0, 40) = (4, 46)$

Nähdään, että saatiin vektori (4, 46), joka kuuluu avaruuteen ℝ². Jos valittaisiin toiset kertoimet, saataisiin toinen vektori. Kertoimilla k₁ = 0, k₂ = −1 saadaan:

$0 \cdot (2, 3) - 1 \cdot (0, 8) = (0, 0) + (0, - 8) = (0, - 8)$

Lineaarisesti riippuvat vektorit

Lineaarikombinaatioihin liittyvät lineaarisesti riippuvat ja lineaarisesti riippumattomat vektorit. Havainnollistetaan asiaa esimerkillä: olkoon vektoriavaruus ℝ² ja tämän avaruuden vektoreista muodostettu joukko Q:

$Q = {(1, 1), (2, 4), (3, 5), (10, 18)}$

Nyt kiinnostaa kysymys, voidaanko jokin näistä neljästä vektorista esittää muiden kolmen vektorin lineaarikombinaationa. Vektoreita katsomalla huomataan, että vektori (3, 5) on yksinkertaisesti kahden ensimmäisen vektorin summa.

$(1, 1) + (2, 4) = (3, 5)$

Vektori (3, 5) on siis vektorien (1, 1) ja (2, 4) lineaarikombinaatio. Hauskuuden vuoksi poistetaan tämä vektori joukosta Q. Saadaan uusi joukko Q₁, jonka muoto on:

$Q_{1} = {(1, 1), (2, 4), (10, 18)}$

Löytyykö siitä vielä jokin vektori, joka on muiden lineaarikombinaatio? Kyllä, vektori (10, 18) on kahden ensimmäisen vektorin lineaarikombinaatio kertoimilla k₁ = 2, k₂ = 4:

$2 \cdot (1, 1) + 4 \cdot (2, 4) = (2, 2) + (8, 16) = (10, 18)$

Poistetaan myös tämä vektori, jolloin saadaan:

$Q_{2} = {(1, 1), (2, 4)}$

Kysytään uudestaan — voidaanko jompikumpi vektoreista saada toisen avulla? Ei voida, mikään vektorin (1, 1) monikerta ei ole yhtä suuri kuin vektori (2, 4).

Saatiin vektorijoukko, jossa mitään vektoria ei voida esittää muiden vektorien lineaarikombinaationa. Tällaista joukkoa sanotaan lineaarisesti riippumattomaksi vektorijoukoksi. Jos yksi vektori voidaan esittää muiden vektorien lineaarikombinaationa, sitä sanotaan lineaarisesti riippuvaksi vektoriksi. Jos sitä ei voida esittää, sitä sanotaan lineaarisesti riippumattomaksi vektoriksi.

Nollavektori

Nollavektorilla 0 on tärkeä rooli lineaarisessa riippuvuudessa. Palataan vektorijoukkoon Q₁ ja avaruuteen ℝ². Joukko Q₁ on tällainen:

$Q_{1} = {(1, 1), (2, 4), (10, 18)}$

ja jo tiedetään, että vektori (10, 18) on riippuva, koska 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). Mitä tapahtuisi, jos lausekkeesta 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) vähennettäisiin vektori (10, 18)? Eli jos lisättäisiin sen −1-kertainen? Se näyttäisi tältä:

$2 \cdot (1, 1) + 4 \cdot (2, 4) - (10, 18)$

Tämä lauseke olisi varmasti yhtä suuri kuin nollavektori:

$2 \cdot (1, 1) + 4 \cdot (2, 4) - (10, 18) = (0, 0)$

Tästä voidaan päätellä mielenkiintoinen ominaisuus. Jos vektorijoukko x₁, x₂, …, x_n on lineaarisesti riippuva, on olemassa reaaliset kertoimet a₁, a₂, …, a_n, joille

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Samalla ainakin yhden kertoimen a_i täytyy olla nollasta poikkeava. Jos kaikkien kertoimien paikalle sijoitettaisiin nolla, saataisiin aina tosi yhtälö, ja silloin jokainen vektorijoukko olisi lineaarisesti riippuva, mikä on varmasti järjetöntä. Edellisen yhtälön perustelu on yksinkertainen. Jos esimerkiksi vektori x₁ on lineaarisesti riippuva, se tarkoittaa, että

$a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = x_{1}$

Tähän yhtälöön riittää lisätä −x₁, jolloin saadaan

$- 1 \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Miten selvitetään, ovatko vektorit riippuvia

Jos on vektorit x₁, x₂, …, x_n ja halutaan selvittää, ovatko ne lineaarisesti riippuvia vai riippumattomia, riittää ratkaista mainittu yhtälö

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

eli löytää kertoimet a_i. Avaruudessa ℝ³ vektorit voisivat olla esimerkiksi nämä: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Koska halutaan selvittää, ovatko ne riippuvia, ratkaistaan tämä yhtälö:

$a_{1} \cdot (1, 2, 3) + a_{2} \cdot (2, 1, 7) + a_{3} \cdot (1, - 4, 5) = (0, 0, 0)$

Yhtälö kirjoitetaan auki vektorien yhteenlaskun ja kertomisen määritelmän mukaan. Pätee, että a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁) jne. Kirjoitetaan auki näin:

$(a_{1}, 2 a_{1}, 3 a_{1}) + (2 a_{2}, a_{2}, 7 a_{2}) + (a_{3}, - 4 a_{3}, 5 a_{3}) = (0, 0, 0)$

Nyt kirjoitetaan auki yhteenlasku. Yhteenlasku tehdään aina samoilla koordinaateilla, joten ensimmäisen vektorin ensimmäinen komponentti a₁ lasketaan yhteen toisen vektorin ensimmäisen komponentin 2a₂ ja kolmannen vektorin ensimmäisen komponentin a₃ kanssa, ja kaiken tämän täytyy olla yhtä suuri kuin nollavektorin ensimmäinen komponentti, eli nolla. Samoin toiselle ja kolmannelle komponentille. Saadaan yhtälöryhmä:

$\begin{matrix} a_{1} & + & 2 a_{2} & + & a_{3} & = & 0 \\ 2 a_{1} & + & a_{2} & + & - 4 a_{3} & = & 0 \\ 3 a_{1} & + & 7 a_{2} & + & 5 a_{3} & = & 0 \end{matrix}$

Tämä yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa tavalliseen matriisiin:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix})$

Huomaa, että tämän matriisin sarakkeissa ovat itse asiassa alkuperäiset vektorit. Matriisin ensimmäisessä sarakkeessa on alkuperäinen vektori (1, 2, 3), kolmannessa on vektori (1, −4, 5) jne. Laskiessa ei siis aina tarvitse tehdä kaikkia näitä monimutkaisia muunnoksia: matriisi saadaan, kun sarakkeisiin asetetaan vektorit, joiden riippuvuus halutaan selvittää, ja lisätään sen jälkeen nollasarake.

Yhtälöryhmä voidaan ratkaista Gaussin eliminoinnilla. Matriisi muunnetaan porrasmuotoon. Lisätään ensin toiseen riviin ensimmäisen rivin −2-kertainen ja kolmanteen riviin ensimmäisen rivin −3-kertainen:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Nyt toiseen riviin voidaan lisätä kolmannen rivin 3-kertainen:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Pidemmälle ei tarvitse edes laskea, yksi rivi saatiin nollattua, mikä tarkoittaa, että vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. Yhtälöryhmä voidaan kuitenkin ratkaista loppuun. Valitaan parametriksi a₃ = t. Yhtälöstä

$a_{2} + 2 a_{3} = 0$

joka on matriisin viimeinen rivi, saadaan sijoittamalla a₃ = t yhtälö:

$\begin{array}{rcl} a_{2} + 2 t & = & 0 \\ a_{2} & = & - 2 t \end{array}$

Sijoitetaan nyt nämä arvot ensimmäiseen yhtälöön, eli matriisin ensimmäiseen riviin:

$\begin{array}{rcl} a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} & = & 0 \\ a_{1} - 4 t + t & = & 0 \\ a_{1} & = & 3 t \end{array}$

Saadaan siis a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Jos t:n paikalle sijoitetaan vaikkapa t = 3, saadaan yksi konkreettinen ratkaisu a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Nämä kertoimet voidaan sijoittaa alkuperäiseen yhtälöön

$a_{1} \cdot (1, 2, 3) + a_{2} \cdot (2, 1, 7) + a_{3} \cdot (1, - 4, 5) = (0, 0, 0)$

ja saadaan:

$9 \cdot (1, 2, 3) + (- 6) \cdot (2, 1, 7) + 3 \cdot (1, - 4, 5) = (0, 0, 0)$

Muunnetaan vasenta puolta:

$\begin{array}{rcl} 9 \cdot (1, 2, 3) + (- 6) \cdot (2, 1, 7) + 3 \cdot (1, - 4, 5) & = & (0, 0, 0) \\ (9, 18, 27) + (- 12, - 6, - 42) + (3, - 12, 15) & = & (0, 0, 0) \\ (9 - 12 + 3, 18 - 6 - 12, 27 - 42 + 15) & = & (0, 0, 0) \\ (0, 0, 0) & = & (0, 0, 0) \end{array}$

Nähdään, että jos kertoimiksi valitaan esimerkiksi a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, vektoreista (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5) saadaan nollavektori. Jos yhtälöryhmällä olisi vain yksi ratkaisu, nollaratkaisu eli triviaaliratkaisu, vektorit olisivat lineaarisesti riippumattomia.

Luvut: Vektoriavaruudet, Esimerkkejä vektoriavaruuksista, Vektorialiavaruus, Vektorien lineaarikombinaatio, Virittämä aliavaruus, Vektoriavaruuden kanta, Vektoriavaruuden dimensio, Kannanvaihtomatriisi

« Edellinen: Vektorialiavaruus

Seuraava: Virittämä aliavaruus »