Combinație liniară de vectori

Combinația liniară este procedeul prin care, dintr-o anumită mulțime de vectori, construim un vector nou folosind doar adunarea și înmulțirea.

Ce este o combinație liniară

Fie un spațiu vectorial V. Știm că spațiul este închis la adunarea vectorilor, deci pentru doi vectori x, y ∈ V avem întotdeauna x + y ∈ V. Dacă adunăm doi vectori, obținem din nou un vector din același spațiu. Același lucru este valabil și pentru înmulțirea cu un scalar. Dacă avem un k ∈ ℝ, atunci și k · x ∈ V.

Putem combina cele două operații – luăm k, l ∈ ℝ, iar expresia k · x + l · y ne dă din nou un vector nou, să-l notăm v, iar acest vector v se va afla din nou în spațiul V. De ce? k · x ∈ V și, la fel, l · y ∈ V. Adunăm doi vectori ai spațiului V, deci, prin definiție, trebuie să obținem un vector din spațiul V.

Putem spune astfel că vectorul v este o combinație liniară a vectorilor x și y. În general: dacă avem vectorii x₁, x₂, …, x_n și numerele reale k₁, k₂, …, k_n, pe care le numim coeficienți, atunci combinația liniară a acestor vectori este vectorul v pe care îl obținem astfel:

$v = k_{1} \cdot x_{1} + k_{2} \cdot x_{2} + \dots + k_{n} \cdot x_{n} .$

Exemplu: luăm spațiul ℝ² și din el doi vectori: (2, 3) și (0, 8). Alegem acum coeficienții k₁ = 2, k₂ = 5. Prin combinația liniară a acestor vectori cu coeficienții k₁, k₂ obținem vectorul

$2 \cdot (2, 3) + 5 \cdot (0, 8) = (4, 6) + (0, 40) = (4, 46)$

Vedem că am obținut vectorul (4, 46), care face parte din spațiul ℝ². Dacă am alege alți coeficienți, am obține un alt vector. Pentru k₁ = 0, k₂ = −1 avem:

$0 \cdot (2, 3) - 1 \cdot (0, 8) = (0, 0) + (0, - 8) = (0, - 8)$

Vectori liniar dependenți

De combinațiile liniare sunt legați vectorii liniar dependenți sau liniar independenți. Vom arăta asta printr-un exemplu: fie spațiul vectorial ℝ² și o mulțime de vectori Q din acest spațiu:

$Q = {(1, 1), (2, 4), (3, 5), (10, 18)}$

Ne interesează acum întrebarea dacă putem exprima vreunul dintre acești patru vectori ca o combinație liniară a celorlalți trei vectori. Dacă ne uităm la vectori, vedem că vectorul (3, 5) este egal cu simpla sumă a primilor doi vectori.

$(1, 1) + (2, 4) = (3, 5)$

Vectorul (3, 5) este deci o combinație liniară a vectorilor (1, 1) și (2, 4). Ca să fie mai distractiv, eliminăm acest vector din mulțimea Q. Obținem o mulțime nouă Q₁, care are forma:

$Q_{1} = {(1, 1), (2, 4), (10, 18)}$

Mai găsim aici vreun vector care este combinație liniară a celorlalți? Da, vectorul (10, 18) este o combinație liniară a primilor doi vectori pentru k₁ = 2, k₂ = 4:

$2 \cdot (1, 1) + 4 \cdot (2, 4) = (2, 2) + (8, 16) = (10, 18)$

Eliminăm din nou acest vector și obținem:

$Q_{2} = {(1, 1), (2, 4)}$

Ne întrebăm din nou – putem obține unul dintre vectori ca o combinație a celuilalt? Nu putem, niciun multiplu al vectorului (1, 1) nu va fi egal cu vectorul (2, 4).

Am obținut o mulțime de vectori în care niciun vector nu poate fi exprimat ca o combinație liniară a celorlalți. O astfel de mulțime se numește mulțime de vectori liniar independenți. Dacă un vector poate fi exprimat ca o combinație a celorlalți, spunem despre el că este vector liniar dependent. Dacă nu poate fi exprimat, spunem că este vector liniar independent.

Vectorul nul

Vectorul nul 0 joacă un rol important în dependența liniară. Să ne întoarcem la mulțimea de vectori Q₁ și la spațiul ℝ². Mulțimea Q₁ arată astfel:

$Q_{1} = {(1, 1), (2, 4), (10, 18)}$

și știm deja că vectorul (10, 18) este dependent, deoarece 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). Ce s-ar întâmpla deci dacă din expresia 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) am scădea vectorul (10, 18)? Sau, altfel spus, dacă am aduna produsul lui cu −1? Ar arăta astfel:

$2 \cdot (1, 1) + 4 \cdot (2, 4) - (10, 18)$

Această expresie ar fi cu siguranță egală cu vectorul nul:

$2 \cdot (1, 1) + 4 \cdot (2, 4) - (10, 18) = (0, 0)$

De aici putem deduce o proprietate interesantă. Dacă mulțimea de vectori x₁, x₂, …, x_n este liniar dependentă, atunci există coeficienți reali a₁, a₂, …, a_n astfel încât

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Cel puțin un coeficient a_i trebuie să fie nenul. Dacă am înlocui toți coeficienții cu zero, am obține întotdeauna o egalitate adevărată și, prin urmare, am ajunge la concluzia că orice mulțime de vectori este liniar dependentă, ceea ce este cu siguranță o absurditate. Justificarea egalității precedente este simplă. Dacă, de exemplu, vectorul x₁ este liniar dependent, asta înseamnă că

$a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = x_{1}$

Ajunge să adunăm la această egalitate −x₁ și obținem

$- 1 \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Cum aflăm dacă vectorii sunt dependenți

Dacă avem vectorii x₁, x₂, …, x_n și vrem să aflăm dacă sunt liniar dependenți sau independenți, ajunge să rezolvăm ecuația amintită

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

adică să găsim coeficienții a_i. Dacă ne aflăm în spațiul ℝ³, am putea avea acești vectori: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Deoarece vrem să aflăm dacă sunt dependenți, rezolvăm această ecuație:

$a_{1} \cdot (1, 2, 3) + a_{2} \cdot (2, 1, 7) + a_{3} \cdot (1, - 4, 5) = (0, 0, 0)$

Scriem această ecuație desfășurat, conform definiției adunării vectorilor și a înmulțirii vectorilor. Avem a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁) etc. Scriem astfel:

$(a_{1}, 2 a_{1}, 3 a_{1}) + (2 a_{2}, a_{2}, 7 a_{2}) + (a_{3}, - 4 a_{3}, 5 a_{3}) = (0, 0, 0)$

Acum dezvoltăm adunarea. Adunăm mereu pe aceleași coordonate, deci adunăm prima componentă a primului vector, a₁, cu prima componentă a celui de-al doilea vector, 2a₂, și cu prima componentă a celui de-al treilea vector, a₃, iar toate acestea trebuie să fie egale cu prima componentă a vectorului nul, adică cu zero. La fel pentru a doua și a treia componentă. Obținem un sistem de ecuații liniare:

$\begin{matrix} a_{1} & + & 2 a_{2} & + & a_{3} & = & 0 \\ 2 a_{1} & + & a_{2} & + & - 4 a_{3} & = & 0 \\ 3 a_{1} & + & 7 a_{2} & + & 5 a_{3} & = & 0 \end{matrix}$

Putem scrie sistemul în matricea clasică:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix})$

Observă că pe coloanele acestei matrice se află de fapt vectorii inițiali. Pe prima coloană a matricei se află vectorul inițial (1, 2, 3), pe a treia vectorul (1, −4, 5) etc. La calcul nu trebuie deci să faci de fiecare dată toate aceste transformări complicate: matricea o construiești punând pe coloane vectorii despre care vrei să afli dacă sunt dependenți și adăugând apoi o coloană nulă.

Sistemul îl putem rezolva prin metoda lui Gauss. Aducem matricea la forma eșalon. Mai întâi adunăm la a doua linie prima linie înmulțită cu −2, iar la a treia linie adunăm prima linie înmulțită cu −3:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Acum putem aduna la a doua linie a treia linie înmulțită cu 3:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Mai departe nici nu mai trebuie să calculăm, am reușit să anulăm o linie, ceea ce arată că vectorii sunt liniar dependenți. Putem însă termina rezolvarea sistemului. Alegem parametrul a₃ = t. Atunci din ecuația

$a_{2} + 2 a_{3} = 0$

care este ultima linie a matricei, obținem, prin înlocuirea lui a₃ = t, ecuația:

$\begin{array}{rcl} a_{2} + 2 t & = & 0 \\ a_{2} & = & - 2 t \end{array}$

Acum înlocuim aceste valori în prima ecuație, adică în prima linie a matricei:

$\begin{array}{rcl} a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} & = & 0 \\ a_{1} - 4 t + t & = & 0 \\ a_{1} & = & 3 t \end{array}$

Avem deci a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Dacă înlocuim pe t cu, de exemplu, t = 3, obținem o soluție concretă a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Putem înlocui acești coeficienți în ecuația inițială

$a_{1} \cdot (1, 2, 3) + a_{2} \cdot (2, 1, 7) + a_{3} \cdot (1, - 4, 5) = (0, 0, 0)$

și obținem:

$9 \cdot (1, 2, 3) + (- 6) \cdot (2, 1, 7) + 3 \cdot (1, - 4, 5) = (0, 0, 0)$

Transformăm membrul stâng:

$\begin{array}{rcl} 9 \cdot (1, 2, 3) + (- 6) \cdot (2, 1, 7) + 3 \cdot (1, - 4, 5) & = & (0, 0, 0) \\ (9, 18, 27) + (- 12, - 6, - 42) + (3, - 12, 15) & = & (0, 0, 0) \\ (9 - 12 + 3, 18 - 6 - 12, 27 - 42 + 15) & = & (0, 0, 0) \\ (0, 0, 0) & = & (0, 0, 0) \end{array}$

Vedem că, dacă alegem drept coeficienți, de exemplu, a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, obținem din vectorii (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5) vectorul nul. Dacă sistemul ar avea o singură soluție, cea nulă, atunci vectorii ar fi liniar independenți.

Capitole: Spații vectoriale, Exemple de spații vectoriale, Subspațiu vectorial, Combinație liniară, Acoperirea liniară, Baza, Dimensiunea, Matricea de trecere

« Anterior: Subspațiu vectorial

Următor: Acoperirea liniară »