Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων

Ο γραμμικός συνδυασμός είναι μια διαδικασία με την οποία φτιάχνουμε από ένα σύνολο διανυσμάτων ένα νέο διάνυσμα, χρησιμοποιώντας μόνο πρόσθεση και πολλαπλασιασμό.

Τι είναι ο γραμμικός συνδυασμός

Έστω ένας διανυσματικός χώρος V. Ξέρουμε ότι ο χώρος είναι κλειστός ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων, άρα για δύο διανύσματα x, y ∈ V ισχύει πάντα x + y ∈ V. Αν προσθέσουμε δύο διανύσματα, παίρνουμε πάλι διάνυσμα του ίδιου χώρου. Το ίδιο ισχύει και για τον πολλαπλασιασμό με αριθμό. Αν έχουμε ένα k ∈ ℝ, τότε και k · x ∈ V.

Μπορούμε να συνδυάσουμε και τις δύο πράξεις – παίρνουμε k, l ∈ ℝ και η παράσταση k · x + l · y μας δίνει πάλι ένα νέο διάνυσμα, ας το ονομάσουμε v, και αυτό το διάνυσμα v θα ανήκει πάλι στον χώρο V. Γιατί; Το k · x ∈ V και ταυτόχρονα σίγουρα l · y ∈ V. Προσθέτουμε δύο διανύσματα του χώρου V, άρα εξ ορισμού πρέπει να πάρουμε διάνυσμα του χώρου V.

Μπορούμε έτσι να πούμε ότι το διάνυσμα v είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων x και y. Γενικά: αν έχουμε διανύσματα x₁, x₂, …, x_n και πραγματικούς αριθμούς k₁, k₂, …, k_n, που τους λέμε συντελεστές, τότε γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα v που παίρνουμε από τον τύπο

$v = k_{1} \cdot x_{1} + k_{2} \cdot x_{2} + \dots + k_{n} \cdot x_{n} .$

Παράδειγμα: ας πάρουμε τον χώρο ℝ² και δύο διανύσματά του: (2, 3) και (0, 8). Τώρα επιλέγουμε συντελεστές: k₁ = 2, k₂ = 5. Με γραμμικό συνδυασμό αυτών των διανυσμάτων με συντελεστές k₁, k₂ παίρνουμε το διάνυσμα

$2 \cdot (2, 3) + 5 \cdot (0, 8) = (4, 6) + (0, 40) = (4, 46)$

Βλέπουμε ότι πήραμε το διάνυσμα (4, 46), που ανήκει στον χώρο ℝ². Αν επιλέγαμε άλλους συντελεστές, θα παίρναμε άλλο διάνυσμα. Για k₁ = 0, k₂ = −1 έχουμε:

$0 \cdot (2, 3) - 1 \cdot (0, 8) = (0, 0) + (0, - 8) = (0, - 8)$

Γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα

Με τους γραμμικούς συνδυασμούς σχετίζονται τα γραμμικά εξαρτημένα και τα γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Θα το δούμε με ένα παράδειγμα: έστω ο διανυσματικός χώρος ℝ² και ένα σύνολο διανυσμάτων Q αυτού του χώρου:

$Q = {(1, 1), (2, 4), (3, 5), (10, 18)}$

Μας ενδιαφέρει τώρα το ερώτημα αν μπορούμε να εκφράσουμε κάποιο από αυτά τα τέσσερα διανύσματα ως γραμμικό συνδυασμό των άλλων τριών. Κοιτάζοντας τα διανύσματα, βλέπουμε ότι το διάνυσμα (3, 5) ισούται με το απλό άθροισμα των δύο πρώτων.

$(1, 1) + (2, 4) = (3, 5)$

Το διάνυσμα (3, 5) είναι λοιπόν γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων (1, 1) και (2, 4). Για να έχει ενδιαφέρον, θα το αφαιρέσουμε από το σύνολο Q. Παίρνουμε ένα νέο σύνολο Q₁ που έχει τη μορφή:

$Q_{1} = {(1, 1), (2, 4), (10, 18)}$

Θα βρούμε εκεί κάποιο άλλο διάνυσμα που είναι γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων; Ναι, το διάνυσμα (10, 18) είναι γραμμικός συνδυασμός των δύο πρώτων για k₁ = 2, k₂ = 4:

$2 \cdot (1, 1) + 4 \cdot (2, 4) = (2, 2) + (8, 16) = (10, 18)$

Πάλι αφαιρούμε αυτό το διάνυσμα και παίρνουμε:

$Q_{2} = {(1, 1), (2, 4)}$

Ρωτάμε ξανά – μπορούμε να πάρουμε το ένα από τα διανύσματα ως συνδυασμό του άλλου; Δεν μπορούμε, κανένα πολλαπλάσιο του διανύσματος (1, 1) δεν θα ισούται με το διάνυσμα (2, 4).

Πήραμε ένα σύνολο διανυσμάτων στο οποίο κανένα διάνυσμα δεν μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Ένα τέτοιο σύνολο το λέμε γραμμικά ανεξάρτητο σύνολο διανυσμάτων. Αν ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί ως συνδυασμός των υπολοίπων, το λέμε γραμμικά εξαρτημένο διάνυσμα. Αν δεν μπορεί να εκφραστεί, το λέμε γραμμικά ανεξάρτητο διάνυσμα.

Το μηδενικό διάνυσμα

Το μηδενικό διάνυσμα 0 παίζει σημαντικό ρόλο στη γραμμική εξάρτηση. Ας επιστρέψουμε στο σύνολο διανυσμάτων Q₁ και στον χώρο ℝ². Το σύνολο Q₁ είναι το εξής:

$Q_{1} = {(1, 1), (2, 4), (10, 18)}$

και ήδη ξέρουμε ότι το διάνυσμα (10, 18) είναι εξαρτημένο, επειδή 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). Τι θα συνέβαινε λοιπόν αν από την παράσταση 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) αφαιρούσαμε το διάνυσμα (10, 18); Ή αλλιώς, αν προσθέταμε το −1 πολλαπλάσιό του; Θα έμοιαζε κάπως έτσι:

$2 \cdot (1, 1) + 4 \cdot (2, 4) - (10, 18)$

Αυτή η παράσταση θα ήταν σίγουρα ίση με το μηδενικό διάνυσμα:

$2 \cdot (1, 1) + 4 \cdot (2, 4) - (10, 18) = (0, 0)$

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα. Αν ένα σύνολο διανυσμάτων x₁, x₂, …, x_n είναι γραμμικά εξαρτημένο, τότε υπάρχουν πραγματικοί συντελεστές a₁, a₂, …, a_n τέτοιοι ώστε

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Ταυτόχρονα, τουλάχιστον ένας συντελεστής a_i πρέπει να είναι μη μηδενικός. Αν βάζαμε μηδέν για όλους τους συντελεστές, θα παίρναμε πάντα μια ισότητα που ισχύει και έτσι θα προέκυπτε ότι κάθε σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικά εξαρτημένο, κάτι που είναι προφανώς παράλογο. Η αιτιολόγηση της προηγούμενης εξίσωσης είναι απλή. Αν για παράδειγμα το διάνυσμα x₁ είναι γραμμικά εξαρτημένο, τότε αυτό σημαίνει ότι

$a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = x_{1}$

Σε αυτή την εξίσωση αρκεί να προσθέσουμε το −x₁ και παίρνουμε

$- 1 \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

Πώς βρίσκουμε αν τα διανύσματα είναι εξαρτημένα

Αν έχουμε διανύσματα x₁, x₂, …, x_n και θέλουμε να βρούμε αν είναι γραμμικά εξαρτημένα (ή ανεξάρτητα), αρκεί να λύσουμε την εξίσωση που αναφέραμε

$a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + \dots + a_{n} \cdot x_{n} = 0$

δηλαδή να βρούμε τους συντελεστές a_i. Αν κινούμαστε στον χώρο ℝ³, θα μπορούσαμε να έχουμε τα εξής διανύσματα: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Επειδή θέλουμε να βρούμε αν είναι εξαρτημένα, λύνουμε την εξίσωση:

$a_{1} \cdot (1, 2, 3) + a_{2} \cdot (2, 1, 7) + a_{3} \cdot (1, - 4, 5) = (0, 0, 0)$

Αυτή την εξίσωση απλώς την αναπτύσσουμε σύμφωνα με τον ορισμό της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού διανυσμάτων. Ισχύει ότι a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁) κ.ο.κ. Την αναπτύσσουμε έτσι:

$(a_{1}, 2 a_{1}, 3 a_{1}) + (2 a_{2}, a_{2}, 7 a_{2}) + (a_{3}, - 4 a_{3}, 5 a_{3}) = (0, 0, 0)$

Τώρα αναπτύσσουμε την πρόσθεση. Προσθέτουμε πάντα τις αντίστοιχες συντεταγμένες, άρα προσθέτουμε την πρώτη συνιστώσα του πρώτου διανύσματος a₁ με την πρώτη συνιστώσα του δεύτερου διανύσματος 2a₂ και με την πρώτη συνιστώσα του τρίτου διανύσματος a₃ και όλα αυτά πρέπει να ισούνται με την πρώτη συνιστώσα του μηδενικού διανύσματος, δηλαδή με το μηδέν. Το ίδιο και για τη δεύτερη και την τρίτη συνιστώσα. Παίρνουμε ένα γραμμικό σύστημα:

$\begin{matrix} a_{1} & + & 2 a_{2} & + & a_{3} & = & 0 \\ 2 a_{1} & + & a_{2} & + & - 4 a_{3} & = & 0 \\ 3 a_{1} & + & 7 a_{2} & + & 5 a_{3} & = & 0 \end{matrix}$

Αυτό το σύστημα μπορούμε να το γράψουμε σε έναν κλασικό πίνακα:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix})$

Παρατήρησε ότι στις στήλες αυτού του πίνακα βρίσκονται στην πραγματικότητα τα αρχικά διανύσματα. Στην πρώτη στήλη του πίνακα είναι το αρχικό διάνυσμα (1, 2, 3), στην τρίτη το διάνυσμα (1, −4, 5) κ.ο.κ. Στους υπολογισμούς δεν χρειάζεται λοιπόν να κάνεις κάθε φορά όλους αυτούς τους πολύπλοκους μετασχηματισμούς, αυτόν τον πίνακα τον φτιάχνεις βάζοντας στις στήλες τα διανύσματα για τα οποία θέλεις να βρεις αν είναι εξαρτημένα και προσθέτοντας μια μηδενική στήλη.

Το σύστημα μπορούμε να το λύσουμε με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss. Φέρνουμε τον πίνακα σε κλιμακωτή μορφή. Πρώτα προσθέτουμε στη δεύτερη γραμμή το −2 πολλαπλάσιο της πρώτης γραμμής και στην τρίτη προσθέτουμε το −3 πολλαπλάσιο της πρώτης γραμμής:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & 7 & 5 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Τώρα μπορούμε να προσθέσουμε στη δεύτερη γραμμή το 3 πολλαπλάσιο της τρίτης γραμμής:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix})$

Δεν χρειάζεται να συνεχίσουμε τους υπολογισμούς, καταφέραμε να μηδενίσουμε μια γραμμή, πράγμα που σημαίνει ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. Μπορούμε όμως να ολοκληρώσουμε τη λύση του συστήματος. Επιλέγουμε παράμετρο a₃ = t. Τότε από την εξίσωση

$a_{2} + 2 a_{3} = 0$

που είναι η τελευταία γραμμή του πίνακα, αντικαθιστώντας a₃ = t παίρνουμε την εξίσωση:

$\begin{array}{rcl} a_{2} + 2 t & = & 0 \\ a_{2} & = & - 2 t \end{array}$

Τώρα αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην πρώτη εξίσωση, δηλαδή στην πρώτη γραμμή του πίνακα:

$\begin{array}{rcl} a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} & = & 0 \\ a_{1} - 4 t + t & = & 0 \\ a_{1} & = & 3 t \end{array}$

Έχουμε λοιπόν a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Αν στο t βάλουμε για παράδειγμα t = 3, παίρνουμε μία συγκεκριμένη λύση a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Αυτούς τους συντελεστές μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε στην αρχική εξίσωση

$a_{1} \cdot (1, 2, 3) + a_{2} \cdot (2, 1, 7) + a_{3} \cdot (1, - 4, 5) = (0, 0, 0)$

και παίρνουμε:

$9 \cdot (1, 2, 3) + (- 6) \cdot (2, 1, 7) + 3 \cdot (1, - 4, 5) = (0, 0, 0)$

Απλοποιούμε το πρώτο μέλος:

$\begin{array}{rcl} 9 \cdot (1, 2, 3) + (- 6) \cdot (2, 1, 7) + 3 \cdot (1, - 4, 5) & = & (0, 0, 0) \\ (9, 18, 27) + (- 12, - 6, - 42) + (3, - 12, 15) & = & (0, 0, 0) \\ (9 - 12 + 3, 18 - 6 - 12, 27 - 42 + 15) & = & (0, 0, 0) \\ (0, 0, 0) & = & (0, 0, 0) \end{array}$

Βλέπουμε ότι αν ως συντελεστές επιλέξουμε για παράδειγμα a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, από τα διανύσματα (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5) παίρνουμε το μηδενικό διάνυσμα. Αν το σύστημα είχε μόνο μία λύση, τη μηδενική, τότε τα διανύσματα θα ήταν γραμμικά ανεξάρτητα.

Κεφάλαια: Διανυσματικοί χώροι, Παραδείγματα διανυσματικών χώρων, Διανυσματικός υπόχωρος, Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων, Γραμμική θήκη, Βάση διανυσματικού χώρου, Διάσταση διανυσματικού χώρου, Πίνακας αλλαγής βάσης

« Προηγούμενο: Διανυσματικός υπόχωρος

Επόμενο: Γραμμική θήκη »