Lineaire combinatie van vectoren

Een lineaire combinatie is een werkwijze om uit een bepaalde verzameling vectoren een nieuwe vector te maken, alleen met optellen en vermenigvuldigen.

Wat is een lineaire combinatie

We nemen een vectorruimte V. We weten dat de ruimte gesloten is onder het optellen van vectoren, dus voor twee vectoren x, y ∈ V geldt altijd dat x + y ∈ V. Als we twee vectoren optellen, krijgen we weer een vector uit dezelfde ruimte. Hetzelfde geldt voor het vermenigvuldigen met een scalair. Als we een k ∈ ℝ hebben, dan ook k · x ∈ V.

We kunnen beide bewerkingen combineren — we nemen k, l ∈ ℝ en de uitdrukking k · x + l · y geeft ons weer een nieuwe vector, die we v noemen, en deze vector v ligt weer in de ruimte V. Waarom? k · x ∈ V, en zeker ook l · y ∈ V. We tellen twee vectoren van de ruimte V op, dus volgens de definitie moeten we een vector uit de ruimte V krijgen.

We kunnen dus zeggen dat de vector v een lineaire combinatie van de vectoren x en y is. In het algemeen: als we vectoren x₁, x₂, …, x_n en reële getallen k₁, k₂, …, k_n hebben, die we coëfficiënten noemen, dan is een lineaire combinatie van deze vectoren de vector v die we krijgen als

$$\mathbf{v}=k_1\cdot {\mathbf{x}}_1+k_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +k_n\cdot {\mathbf{x}}_n.$$

Voorbeeld: we nemen de ruimte ℝ² en daaruit twee vectoren: (2, 3) en (0, 8). Nu kiezen we de coëfficiënten: k₁ = 2, k₂ = 5. Met een lineaire combinatie van deze vectoren met coëfficiënten k₁, k₂ krijgen we de vector

$$2\cdot (2,3)+5\cdot (0,8)=(4,6)+(0,40)=(4,46)$$

We zien dat we de vector (4, 46) hebben gekregen, die deel uitmaakt van de ruimte ℝ². Als we andere coëfficiënten zouden kiezen, zouden we een andere vector krijgen. Voor k₁ = 0, k₂ = −1 hebben we:

$$0\cdot (2,3)-1\cdot (0,8)=(0,0)+(0,-8)=(0,-8)$$

Lineair afhankelijke vectoren

Met lineaire combinaties hangen lineair afhankelijke of lineair onafhankelijke vectoren samen. We laten het zien met een voorbeeld: we nemen de vectorruimte ℝ² en een verzameling vectoren Q uit deze ruimte:

$$Q=\{(1,1),(2,4),(3,5),(10,18)\}$$

Nu interesseert ons de vraag of we een van deze vier vectoren kunnen uitdrukken als lineaire combinatie van de andere drie vectoren. Als we naar de vectoren kijken, zien we dat de vector (3, 5) gelijk is aan de gewone som van de eerste twee vectoren.

$$(1,1)+(2,4)=(3,5)$$

De vector (3, 5) is dus een lineaire combinatie van de vectoren (1, 1) en (2, 4). Voor de gezelligheid halen we deze vector uit de verzameling Q. We krijgen een nieuwe verzameling Q₁ en die heeft de vorm:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

Vinden we daar nog een vector die een lineaire combinatie van de andere is? Ja, de vector (10, 18) is een lineaire combinatie van de eerste twee vectoren voor k₁ = 2, k₂ = 4:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)=(2,2)+(8,16)=(10,18)$$

Ook deze vector halen we weer weg, we krijgen:

$$Q_2=\{(1,1),(2,4)\}$$

We vragen weer — kunnen we een van de vectoren krijgen als combinatie van de andere? Dat kan niet, geen enkel veelvoud van de vector (1, 1) zal gelijk zijn aan de vector (2, 4).

We hebben een verzameling vectoren gekregen waarin we geen enkele vector kunnen uitdrukken als lineaire combinatie van de andere vectoren. Zo'n verzameling noemen we een lineair onafhankelijke verzameling vectoren. Als een vector kan worden uitgedrukt als combinatie van de andere, spreken we van een lineair afhankelijke vector. Als dat niet kan, spreken we van een lineair onafhankelijke vector.

Nulvector

De nulvector 0 speelt een belangrijke rol bij lineaire afhankelijkheid. We gaan terug naar de verzameling vectoren Q₁ en naar de ruimte ℝ². De verzameling Q₁ ziet er zo uit:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

en we weten al dat de vector (10, 18) afhankelijk is, want 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). Wat zou er dus gebeuren als we van de uitdrukking 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) de vector (10, 18) zouden aftrekken? Of liever: als we het −1-voud ervan zouden optellen? Het zou er zo uitzien:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)$$

Deze uitdrukking zou zeker gelijk zijn aan de nulvector:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)=(0,0)$$

Hieruit kunnen we een interessante eigenschap afleiden. Als de verzameling vectoren x₁, x₂, …, x_n lineair afhankelijk is, dan bestaan er reële coëfficiënten a₁, a₂, …, a_n zodat

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Daarbij moet minstens één coëfficiënt a_i ongelijk aan nul zijn. Als we voor alle coëfficiënten nul zouden invullen, zouden we altijd een geldige vergelijking krijgen en zou dus volgen dat elke verzameling vectoren lineair afhankelijk is, en dat is zeker onzin. De onderbouwing van de voorgaande vergelijking is eenvoudig. Als bijvoorbeeld de vector x₁ lineair afhankelijk is, dan betekent dat dat

$$a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n={\mathbf{x}}_1$$

Bij deze vergelijking hoeven we alleen −x₁ op te tellen en we krijgen

$$-1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Hoe ontdek je of vectoren afhankelijk zijn

Als we vectoren x₁, x₂, …, x_n hebben en willen weten of ze lineair (on)afhankelijk zijn, is het genoeg om de genoemde vergelijking op te lossen

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

dus de coëfficiënten a_i te vinden. Als we in de ruimte ℝ³ werken, kunnen we bijvoorbeeld deze vectoren hebben: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Omdat we willen weten of ze afhankelijk zijn, lossen we deze vergelijking op:

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Deze vergelijking schrijven we gewoon uit volgens de definitie van het optellen van vectoren en het vermenigvuldigen van vectoren. Er geldt dat a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁) enzovoort. We schrijven het zo uit:

$$(a_1,2a_1,3a_1)+(2a_2,a_2,7a_2)+(a_3,-4a_3,5a_3)=(0,0,0)$$

Nu schrijven we het optellen uit. We tellen altijd op dezelfde coördinaten op, dus we tellen de eerste component van de eerste vector a₁ op bij de eerste component van de tweede vector 2a₂ en bij de eerste component van de derde vector a₃ en dat alles moet gelijk zijn aan de eerste component van de nulvector, dus aan nul. En net zo voor de tweede en de derde component. We krijgen een stelsel lineaire vergelijkingen:

$$\begin{array}{}{a}_1& +& 2a_2& +& a_3& =& 0\\ 2a_1& +& a_2& +& -4a_3& =& 0\\ 3a_1& +& 7a_2& +& 5a_3& =& 0\end{array}$$

Dit stelsel kunnen we in een klassieke matrix schrijven:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)$$

Merk op dat in de kolommen van deze matrix eigenlijk de oorspronkelijke vectoren staan. In de eerste kolom van de matrix staat de oorspronkelijke vector (1, 2, 3), in de derde staat de vector (1, −4, 5) enzovoort. Bij het rekenen hoef je dus niet altijd al deze ingewikkelde omvormingen uit te voeren, je maakt deze matrix door de vectoren waarvan je wilt weten of ze afhankelijk zijn in kolommen te zetten en daarna een nulkolom toe te voegen.

Het stelsel kunnen we oplossen met de eliminatiemethode van Gauss. We herleiden de matrix tot trapvorm. Eerst tellen we bij de tweede rij het −2-voud van de eerste rij op en bij de derde rij het −3-voud van de eerste rij:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Nu kunnen we bij de tweede rij het 3-voud van de derde rij optellen:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Verder hoeven we niet eens meer te rekenen, het is gelukt om één rij te nullen, en dat betekent dat de vectoren lineair afhankelijk zijn. We kunnen het stelsel echter afmaken. We kiezen de parameter a₃ = t. Uit de vergelijking

$$a_2+2a_3=0$$

(dat is de laatste rij van de matrix) krijgen we dan door a₃ = t in te vullen de vergelijking:

$$\begin{array}{rcl}{a}_2+2t& =& 0\\ a_2& =& -2t\end{array}$$

Nu vullen we deze waarden in in de eerste vergelijking, dus in de eerste rij van de matrix:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1+2a_2+a_3& =& 0\\ a_1-4t+t& =& 0\\ a_1& =& 3t\end{array}$$

We hebben dus a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Als we voor t bijvoorbeeld t = 3 invullen, krijgen we één concrete oplossing a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Deze coëfficiënten kunnen we invullen in de oorspronkelijke vergelijking

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

en we krijgen:

$$9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

We werken de linkerkant uit:

$$\begin{array}{rcl}9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)& =& (0,0,0)\\ (9,18,27)+(-12,-6,-42)+(3,-12,15)& =& (0,0,0)\\ (9-12+3,18-6-12,27-42+15)& =& (0,0,0)\\ (0,0,0)& =& (0,0,0)\end{array}$$

We zien dat als we voor de coëfficiënten bijvoorbeeld a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3 kiezen, we uit de vectoren (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5) de nulvector krijgen. Als het stelsel alleen de triviale oplossing (alle coëfficiënten nul) zou hebben, dan zouden de vectoren lineair onafhankelijk zijn.