Combinação linear de vetores

A combinação linear representa um procedimento para montar, a partir de um certo conjunto de vetores, um novo vetor usando apenas adições e multiplicações.

O que é uma combinação linear

Considere um espaço vetorial V. Sabemos que o espaço é fechado para a operação de adição de vetores, então, para dois vetores x, y ∈ V, sempre vale que x + y ∈ V. Se somamos dois vetores, obtemos novamente um vetor do mesmo espaço. O mesmo vale para a multiplicação por escalar. Se temos algum k ∈ ℝ, então também k · x ∈ V.

Podemos combinar as duas operações — tomamos k, l ∈ ℝ e a expressão k · x + l · y nos dá novamente um novo vetor, que vamos chamar de v, e esse vetor v estará novamente no espaço V. Por quê? k · x ∈ V e, ao mesmo tempo, certamente l · y ∈ V. Somamos dois vetores do espaço V, então, pela definição, devemos obter um vetor do espaço V.

Podemos dizer, assim, que o vetor v é uma combinação linear dos vetores x e y. Em geral: se temos os vetores x₁, x₂, …, x_n e os números reais k₁, k₂, …, k_n, que chamamos de coeficientes, então uma combinação linear desses vetores é o vetor v que obtemos como

$$\mathbf{v}=k_1\cdot {\mathbf{x}}_1+k_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +k_n\cdot {\mathbf{x}}_n.$$

Exemplo: tomemos o espaço ℝ² e, nele, dois vetores: (2, 3) e (0, 8). Agora escolhemos os coeficientes: k₁ = 2, k₂ = 5. Pela combinação linear desses vetores com os coeficientes k₁, k₂ obtemos o vetor

$$2\cdot (2,3)+5\cdot (0,8)=(4,6)+(0,40)=(4,46)$$

Vemos que obtivemos o vetor (4, 46), que faz parte do espaço ℝ². Se escolhêssemos outros coeficientes, obteríamos outro vetor. Para k₁ = 0, k₂ = −1 temos:

$$0\cdot (2,3)-1\cdot (0,8)=(0,0)+(0,-8)=(0,-8)$$

Vetores linearmente dependentes

Os vetores linearmente dependentes ou linearmente independentes estão ligados às combinações lineares. Vamos mostrar com um exemplo: considere o espaço vetorial ℝ² e um conjunto de vetores Q desse espaço:

$$Q=\{(1,1),(2,4),(3,5),(10,18)\}$$

Agora nos interessa saber se conseguimos expressar algum desses quatro vetores como combinação linear dos outros três vetores. Olhando para os vetores, vemos que o vetor (3, 5) é igual à simples soma dos dois primeiros vetores.

$$(1,1)+(2,4)=(3,5)$$

O vetor (3, 5) é, portanto, uma combinação linear dos vetores (1, 1) e (2, 4). Para ficar divertido, vamos remover esse vetor do conjunto Q. Obtemos um novo conjunto Q₁, que tem a forma:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

Encontramos ali mais algum vetor que seja combinação linear dos outros? Sim, o vetor (10, 18) é uma combinação linear dos dois primeiros vetores para k₁ = 2, k₂ = 4:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)=(2,2)+(8,16)=(10,18)$$

Novamente removemos esse vetor e obtemos:

$$Q_2=\{(1,1),(2,4)\}$$

Perguntamos de novo — conseguimos obter um dos vetores como combinação do outro? Não conseguimos, nenhum múltiplo do vetor (1, 1) será igual ao vetor (2, 4).

Obtivemos um conjunto de vetores em que nenhum dos vetores pode ser expresso como combinação linear dos outros vetores. Um conjunto assim é chamado de conjunto linearmente independente de vetores. Se um vetor pode ser expresso como combinação dos outros, falamos dele como um vetor linearmente dependente. Se não pode ser expresso, falamos dele como um vetor linearmente independente.

Vetor nulo

O vetor nulo 0 tem um papel importante na dependência linear. Voltemos ao conjunto de vetores Q₁ e ao espaço ℝ². O conjunto Q₁ é assim:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

e já sabemos que o vetor (10, 18) é dependente, porque 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). O que aconteceria, então, se subtraíssemos da expressão 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) o vetor (10, 18)? Ou melhor, se somássemos o produto dele por −1? Ficaria assim:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)$$

Essa expressão seria certamente igual ao vetor nulo:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)=(0,0)$$

Daqui podemos concluir uma propriedade interessante. Se o conjunto de vetores x₁, x₂, …, x_n é linearmente dependente, então existem coeficientes reais a₁, a₂, …, a_n tais que

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Além disso, pelo menos um coeficiente a_i deve ser não nulo. Se substituíssemos todos os coeficientes por zero, obteríamos sempre uma equação válida e, com isso, resultaria que todo conjunto de vetores é linearmente dependente, o que certamente é um absurdo. A justificativa da equação anterior é simples. Se, por exemplo, o vetor x₁ é linearmente dependente, isso significa que

$$a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n={\mathbf{x}}_1$$

Basta somar −x₁ a essa equação para obter

$$-1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Como descobrir se os vetores são dependentes

Se temos os vetores x₁, x₂, …, x_n e queremos descobrir se são linearmente (in)dependentes, basta resolver a equação mencionada

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

isto é, encontrar os coeficientes a_i. Se estamos no espaço ℝ³, poderíamos ter estes vetores: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Como queremos descobrir se são dependentes, resolvemos esta equação:

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Basta desenvolver essa equação pela definição de adição de vetores e de multiplicação de vetores. Vale que a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁) etc. Desenvolvemos assim:

$$(a_1,2a_1,3a_1)+(2a_2,a_2,7a_2)+(a_3,-4a_3,5a_3)=(0,0,0)$$

Agora desenvolvemos a adição. Somamos sempre nas mesmas coordenadas, então somamos a primeira componente do primeiro vetor a₁ com a primeira componente do segundo vetor 2a₂ com a primeira componente do terceiro vetor a₃, e tudo isso deve ser igual à primeira componente do vetor nulo, isto é, zero. E do mesmo modo para a segunda e a terceira componentes. Obtemos um sistema de equações lineares:

$$\begin{array}{}{a}_1& +& 2a_2& +& a_3& =& 0\\ 2a_1& +& a_2& +& -4a_3& =& 0\\ 3a_1& +& 7a_2& +& 5a_3& =& 0\end{array}$$

Podemos escrever esse sistema em uma matriz clássica:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)$$

Repare que, nas colunas dessa matriz, estão, na verdade, os vetores originais. Na primeira coluna da matriz está o vetor original (1, 2, 3), na terceira está o vetor (1, −4, 5) etc. Ao calcular, portanto, você nem sempre precisa realizar todas essas transformações complicadas: basta formar essa matriz colocando nas colunas os vetores sobre os quais você precisa descobrir se são dependentes e depois acrescentar uma coluna nula.

Podemos resolver o sistema pela eliminação de Gauss. Transformamos a matriz em forma escalonada. Primeiro somamos à segunda linha −2 vezes a primeira linha e à terceira somamos −3 vezes a primeira linha:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Agora podemos somar à segunda linha 3 vezes a terceira linha:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Daqui em diante nem precisamos calcular: conseguimos zerar uma linha, o que indica que os vetores são linearmente dependentes. Mas podemos terminar de calcular o sistema. Escolhemos o parâmetro a₃ = t. Então, da equação

$$a_2+2a_3=0$$

que é a última linha da matriz, obtemos, substituindo a₃ = t, a equação:

$$\begin{array}{rcl}{a}_2+2t& =& 0\\ a_2& =& -2t\end{array}$$

Agora substituímos esses valores na primeira equação, isto é, na primeira linha da matriz:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1+2a_2+a_3& =& 0\\ a_1-4t+t& =& 0\\ a_1& =& 3t\end{array}$$

Temos, assim, a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Se, no lugar de t, substituirmos, por exemplo, t = 3, obtemos uma solução concreta a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Podemos substituir esses coeficientes na equação original

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

e obtemos:

$$9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Simplificamos o lado esquerdo:

$$\begin{array}{rcl}9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)& =& (0,0,0)\\ (9,18,27)+(-12,-6,-42)+(3,-12,15)& =& (0,0,0)\\ (9-12+3,18-6-12,27-42+15)& =& (0,0,0)\\ (0,0,0)& =& (0,0,0)\end{array}$$

Vemos que, se escolhermos como coeficientes, por exemplo, a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, obtemos dos vetores (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5) o vetor nulo. Se o sistema tivesse apenas uma única solução, a nula, os vetores seriam linearmente independentes.